12руснаука2
к.ф.-м.н. А.И. Долгарев
РЕДУКЦИЯ К КАНОНИЧЕСКИМ ЕВКЛИДОВЫМ КРИВЫМ
В ЕСТЕСТВЕННОЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ
По заданной функции кривизны и кручения евклидовой линии указано ее естественное параметрическое представление. Плоская линия является совокупностью малых дуг соприкасающихся окружностей, пространственная – совокупностью дуг винтовых линий. Указаны эти совокупности по заданным кривизнам. По заданным скалярным функциям кривизн линии получено векторное задание линии в окрестности данной точки.
К каноническим кривым относятся кривые постоянных
кривизн. Редукция к канонической кривой позволяет по заданным кривизне и
кручению получить отыскиваемую линию в окрестности точки. В плоском случае линия
апроксимируется дугами соприкасающихся окружностей, в пространственном – дугами
винтовых линий.
1. Плоские
линии
1.1. Кривизна
плоской кривой
Плоская регулярная класса евклидова кривая
может быть задана в
естественной параметризации
=
,
,
где
интервал числовой оси
. Модуль вектора касательной во всякой точке кривой
равен 1:
; (1)
кривизна
линии вычисляется по формуле
. (2)
Радиус
кривизны линии в каждой точке есть
.
В произвольной параметризации
=
,
,
кривизна
линии вычисляется по
формуле
. (3)
Величина
кривизны линии в каждой ее точке от параметризации не зависит.
Известно, что линия однозначно, с
точностью до положения на плоскости, определяется заданной функцией кривизны
, (4)
см.,
например, [1, c. 137 – 144]; функция (4)
называется натуральным уравнением линии. Иными словами, по скалярной функции
кривизны (4) линии однозначно
определяется естественная параметризация
линии
.
Евклидова плоская линия ненулевой
постоянной кривизны является окружностью,
она может быть описана векторной функцией,
=
, (5)
параметризация
не является естественной, т.к. . Дифференциал длины дуги линии (5) есть
, поэтому
. При
окружность (5) имеет
естественную параметризацию
=
. В этом случае ее кривизна
равна
, радиус есть
.
1.2.
Естественная параметризация окружности
Окружность по натуральному уравнению
Установим вид параметрического задания окружности,
имеющей кривизну , в случае естественного параметра.
1. Лемма. В естественной
параметризации окружность кривизны описывается векторной функцией
=
,
; (6)
радиус окружности равен .
# Пусть окружность задана функцией
=
,
.
Найдем
значения величин . Производные функции (6) таковы:
=
,
=
.
Модули
производных заданной функции равны
,
.
Потребовав
выполнения условия (1), находим
. (7)
В
этом случае . Кроме того,
=
.
По
условию, кривизна окружности (6) равна , поэтому
.
Тогда
в (7)
=
.
Следовательно,
в естественной параметризации окружность записывается функцией (6). Вычисляя
кривизну окружности по формуле (3), находим
=
,
что
еще раз подтверждает естественность параметра в (6). #
В конце предыдущего п. 1.1 получена
другая естественная параметризация окружности и значение кривизны другое.
Например, для окружности в
параметризации (5) :
,
=
.
Результат
закономерный: радиус окружности равен и кривизна равна
. Однако, по формулам (2) и (3) значения получены различные, что тоже закономерно для параметризации,
не являющейся естественной.
Параметризация (6) тривиально
исчерпывающе характеризует окружность: в записи (6) наличествует кривизна и радиус
.
2. Лемма. Если задана
кривизна окружности , то параметрическое задание окружности есть (6), лемма 1.
# По (2) имеем дифференциальное уравнение
.
Уравнению
удовлетворяют следующие функции, см. лемму 1, (с учетом (6)):
,
.
Интегрируя
эти равенства дважды и выбрав нулевые значения постоянных интегрирования,
приходим к функции (6). #
1.2.
Отыскание параметрического представления
произвольной линии по функции кривизны
В [1] параметрическое представление
линии по натуральному уравнению получено в естественной параметризации. И (6)
есть естественная параметризация окружности, найденная по натуральному
уравнению .
Пусть теперь в (4) дифференцируемая
функция. Укажем естественную параметризацию линии по заданному уравнению (4).
3.
Теорема. Если задана дифференцируемая
функция (4), то в естественной параметризации линия с кривизной (4) имеет вид , где
,
,
(8)
причем
. (9)
Начальные условия вида
, (10)
определяют единственную линию, проходящую
через данную точку в направлении данного единичного вектора
.
# Компоненты векторной функции
ищем по условию, см.
доказательство леммы 2,
.
Согласно
этому условию по лемме 1 положим:
,
,
(11)
где
есть (9). Так как
,
то
первые интегралы разыскиваемых функций таковы
,
(12)
.
(13)
Функции
(12) и (13) при обладают свойством
,
таким
образом, для функции =
выполняется
. Теперь компонентами разыскиваемой функции
являются функции (8).
По (11), (12) и (13) при
находим
. Свойства функций
указывают на то, что
параметризация разыскиваемой линии является естественной.
Значения постоянных
интегрирования в (12) и (13) выделяют по одной из функций
из получаемых классов
функций, что приводит к отысканию компонент
функции
.
Начальные условия (10) позволяют
получить линию заданной кривизны, проходящую через точку . #
Функции (8) в общем случае являются
неэлементарными. Они относятся к синус-интегралам и косинус-интегралам. Среди
них содержатся функции Френеля и Фурье. Но (8) не исчерпываются функциями
Френеля и Фурье.
Пример.
Не всегда синус-интегралы и косинус-интегралы
неэлементарны. Пусть . По (2):
. Согласно (9),
. По (8), имеем:
,
.
Следовательно,
на основании (12), соответственно (13) , получаем
,
.
Заменяя
, приходим к интегралам
=
,
.
Значит,
,
.
Для
полученной линии имеем при
.
1.4. Локальные свойства плоских
регулярных кривых
Пусть
регулярная кривая , имеющая функцию кривизны (4), параметризована функциями
(8). Во всякой точке
линии
, соответствующей значению
, кривизна линии равна
. В малой окрестности точки
кривизну линии
можно считать
постоянной и равной
. В этой окрестности линия
описывается в виде
(6):
=
.
Здесь
не учтены координаты центра кривизны. Таким образом, в рассматриваемой окрестности
линии совпадает с
соприкасающейся окружностью. В параметризации этой окружности указан ее радиус
, являющийся радиусом кривизны в точке
. Линия
представляется
множеством малых дуг соприкасающихся окружностей вида (6).
Например,
если кривизна линии есть
,
,
то,
согласно теореме 3, линия задается в виде
,
каждая
компонента в задании линии представляется проинтегрированным степенным рядом,
полученным по разложениям функций синуса и косинуса
,
.
Ряды
сходятся для всех . Во всякой точке
имеется соприкасающаяся
окружность
=
.
Если
нужна линия только в окрестности некоторой точки, то можно довольствоваться последней
функцией (учтя координаты центра кривизны).
2. Пространственные линии
2.1. Кривизна и кручение пространственной
кривой
Регулярная кривая класса
евклидова
пространства
в произвольной параметризации
описывается векторной функцией
=
,
. (14)
В
теоретических вопросах используется естественная параметризация
=
,
, (15)
параметр
есть длина линии
от некоторой ее
точки. Интервалы
в заданиях (14) и (15)
линии
не обязательно
совпадают. Дифференциал длины линии
, заданной в параметризации (14), вычисляется по формуле
.
(16)
На
линию (14) налагается условие . В естественной параметризации
(17)
и
кривизна линии определяется
следующим образом:
. (18)
Кручение
кривой
в естественной
параметризации отыскивается по формуле
. (19)
Кривизна
и кручение
кривой
не зависит от ее
параметризации; в произвольной параметризации (14) вычислительные формулы
таковы
,
.
(20)
Пространственная
евклидова линия с постоянными ненулевыми кривизнами ,
является винтовой
линией
=
.
(21)
Радиус
цилиндра, не который намотана винтовая линия, равен , шаг винтовой линии равен
. Кривизна и кручение винтовой (20) равны
,
. (22)
У
линии (21) модуль вектора касательной есть
. (23)
2.2. Винтовая линия по натуральным
уравнениям
Получим
винтовую линию в естественной параметризации, кривизна которой равна и кручение равно
.
4. Теорема. В естественной
параметризации винтовая линия кривиз-
ны и кручения
описывается векторной функцией
=
. (24)
# Для функции (20) найдем выражения через заданные
величины
,
и величину
. По (16):
;
=
.
Считаем
. Значит,
. По значениям (22) имеем
; тогда
.
Согласно
(18), , поэтому
,
.
Подставляя
найденные значения в (21), получаем (24). #
Легко убедиться, что с использованием (18),
(19), а также формул (21), значения кривизны и кручения линии (24) равны
соответственно ,
.
4.
Теорема. Если заданы кривизна и кручение равно
вин-
товой линии , то функции
задания (15) винтовой линии
являются решениями системы обыкновенных дифференциальных уравнений
(25)
Начальные условия вида
;
,
;
,
;(26)
,
определяют единственную линию,
проходящую через точки направлении вектора .
# Кривизна винтовой линии в
естественной параметризации, согласно (16), удовлетворяет соотношениям
,
.
По
виду первого из этих уравнений можно записать
,
.
Отыскиваемая
линия является винтовой, имеет естественную параметризацию, поэтому она
описывается функцией (24). Коэффициент , согласно (24), равен
. Таким образом, приходим к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений (25). В результате интегрирования указанных уравнений имеем
,
,
.
Начальные
условия (26) дают винтовую линию в виде (24).
Первая производная полученной функции (24)
такова:
,
,
.
Находим:
, см. (17). Кривизна и кручение линии (24), вычисленные по
формулам (18), (19), а также по формулам (20), дают один и тот же результат: кривизны
равны заданным числам
. #
2.3. Пространственная кривая в
естественной параметризации
в локальном задании
Известно, что регулярная
пространственная евклидова линия с точностью до положения в пространстве
определяется функциями кривизны и кручения, [1, c. 196 – 208]. В
каждой своей точку регулярная пространственная кривая имеет конкретные значения
кривизны и кручения
; в окрестности каждой точки кривая обладает соприкасающейся
винтовой линией. С движением точки по линии изменяется ее кривизна и кручение и
соприкасающаяся винтовая линия. По заданным функциям кривизны
и кручения
имеем для каждого
значения
соответствующую
винтовую линию, являющуюся соприкасающейся для кривой с заданными функциями
кривизны и кручения. Поэтому справедлива
6.
Теорема. Если заданы функции ,
, то про-
странственная линия =
определяется в
результате решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений
(27)
и функцией .#
По этой теореме, всякая регулярная
пространственная кривая представляется системой дуг винтовых линий.
Заметим, что в решении уравнений
системы (27) имеются синус-интегралы и косинус-интегралы, они сложнее функций
(12) и (13). Здесь удобнее воспользоваться представлением (24), где ,
.
Теоремы 3 и 6 позволяют по заданным
скалярным функциям кривизн линии получить векторное задание линии в
естественной параметризации в
окрестности данной точки.
Литература
1.
Рашевский
П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.: Гостехиздат, 1956. – 420с.