Шилинец В.А., Трафимович Ю.В.

Белорусский государственный педагогический университет

ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

В ряде работ при помощи гиперкомплексных функций, моногенных в смысле В. С. Фёдорова (-моногенных) , исследовались некоторые системы дифференциальных уравнений в частных производных. В данной работе с помощью -моногенных функций решена краевая задача для одной системы дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка.

Пусть , – однозначные функции класса . Считаем эти функции действительными или комплексными, или гиперкомплексными. В последнем случае предполагаем, что значения этих функций в области являются элементами какой-нибудь ассоциативной и коммутативной алгебры с единицей над полем комплексных чисел.

Предполагаем, что в области существует , где .

Как известно , при этих условиях формальными производными , функции называются функции от и , определяемые в области следующим образом:

, .

Пусть . Тогда определим формальные производные , , , :

Аналогично определяются формальные производные порядка в случае функций и класса .

Исследуем краевую задачу для следующей системы дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка:

где – искомые комплексные функции класса .

Задача. Найти решение системы в односвязной области , если известны решения этой системы на границе области – кривой .

Решение краевой задачи. Пусть , , . Тогда из определений формальных производных получаем следующую теорему.

Теорема 1. Система дифференциальных уравнений в частных производных эквивалентна дифференциальному уравнению в формальных производных

.

Найдём общее решение дифференциального уравнения .

Теорема 2. Общее решение дифференциального уравнения в формальных производных -го порядка

.

имеет вид

, ,

где – произвольные функции, моногенные в области относительно функции .

Доказательство. Как известно , равенство в области равносильно моногенности функции относительно в этой области. Таким образом, теорема для доказана.

Допустим сейчас, что теорема справедлива для , и докажем её справедливость для . Действительно, пусть в области имеем:

.

Тогда – моногенная в области относительно функция и, следовательно,

,

откуда получаем

.

Но при мы считаем теорему справедливой, и потому из последнего равенства следует, что функция в области имеет вид:

.

Тем самым теорема справедлива для .

Таким образом, согласно с теоремой 2 общее решение дифференциального уравнения имеет следующий вид:

,

где – произвольные функции, моногенные в области относительно функции .

Легко показать , что функция , моногенная в смысле В. С. Фёдорова по функции в области , имеет вид:

,

где – комплексная функция, аналитическая от в области ; – комплексная функция, аналитическая от в области .

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:

,

где , , – произвольные комплексные функции, аналитические от в области ; , , – произвольные комплексные функции, аналитические от в области .

Отсюда получаем решение системы дифференциальных уравнений :

,

.

Так как , , – произвольные комплексные функции, аналитические от в области , то будем считать, что , .

Тогда решение системы принимает следующий вид:

Отсюда получаем, что

,

.

Функции известны на границе области . Тогда произвольная аналитическая от функция будет известна на кривой . Воспользовавшись классической формулой Коши для комплексной функции по комплексной переменной , а для функции по переменной , мы найдём значения функций , внутри области по их значениям на границе этой области. Тогда из равенств определим функции и , удовлетворяющие условиям краевой задачи.

Литература

1. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Метод формальных производных для решения задачи Коши для одной системы дифференциальных уравнений в частных производных // Дифференциальные уравнения, 1993. – Т.29, № 11. – C. 2019–2020.

2. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Решение задачи Коши для одной системы дифференциальных уравнений методом -моногенных функций // Весці НАН Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук, 1993. – № 3. –

С. 108–110.

3. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Решение краевой задачи для одной системы дифференциальных уравнений в формальных производных // Весці НАН Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук, 1999. – № 3. – С. 127–128.

4. Stelmashuk N.T., Shylinets V.A. The solution of the boundary value problem for a system of equations in formal derivatives by means of dual differential operators // Труды института математики НАН Беларуси, 2004. – Т. 12, № 2. – С. 170–171.

5. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Об интегральном представлении функционально-инвариантных вектор-аналитических функций // Весці НАН Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук, 2006. – № 1. – С. 44–47.

6. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Об интегральном представлении решений одной системы дифференциальных уравнений в частных производных // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды пятой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 3. – Самара: СамГТУ, 2008. – С. 162–163.

7. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. О преобразовании к каноническому виду системы линейных уравнений в частных производных с помощью двойных дифференциальных операторов // Весці НАН Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук, 2008. – № 2. – С. 61–65.

8. Фёдоров В.С. Основные свойства обобщенных моногенных функций // Известия вузов. Математика, 1958. – № 6. – С. 257–265.

9. Гусев В.А. Об одном обобщении ареолярных производных // Bul. Stiint. si tehnical inst. Pol. Timisoara, 1962. – T. 7, fasc. 2. – P. 223–238.

10. Стельмашук Н.Т. О некоторых дифференциальных уравнениях в частных производных в дуальной и бикомплексной алгебрах // Известия вузов. Математика, 1964. – № 3. – С. 136–142.