Математика/3.Теорія ймовірностей і математична
статистика
Кубайчук О.О., Омельчук А.О., Ткач В.О.
Європейський університет
АНАЛІЗ ЧАСУ ДОЖИТТЯ
Важливими моделями актуарної науки є моделі
страхових систем [1], призначених для роботи з випадковими втратами, в яких випадковість пов’язана з тим,
наскільки довго буде жити певна особа. Основним структурним елементом в даному
випадку є випадкова величина, яка називається тривалістю майбутнього життя
(часом дожиття) особи віку 
і позначається 
. Цій випадковій величині ставиться у відповідність інша
випадкова величина – вік у момент смерті 
[2]. Тоді 
. Позначимо 
– функцію розподілу
випадкової величини 
[3]. Покладемо:
, 
.
Функція 
називається функцією дожиття (для довільного 
– ймовірність того,
що новонароджений досягне віку 
, причому завжди вважають, що 
і відповідно тоді 
). В актуарній науці і в демографії функція дожиття
традиційно використовувалась як вихідна точка для подальших досліджень.
Розподіл випадкової величини – вік у момент смерті можна подати за допомогою таблиць смертності, які застосовуються в багатьох областях знань, зокрема, в актуарних розрахунках.
1.
Методики побудови таблиць смертності
Для побудови таблиць смертності зазвичай використовують дані, отримані під час переписів населеня, або дані про народження (форма PН-3) і смерть (форма С-6). Наприклад, офіційно затвердженою є “Методика побудови таблиць смертності і середньої очікуваної тривалості майбутнього життя для однорічних та п’ятирічних вікових груп” [4], що використовує статистичну інформацію вищезгаданих форм.
Проте, враховуючи високу вартість процедури перепису, можна скористатися методикою, частково запропонованою ще в 1693 році (вважається датою народження актуарної науки) Едмундом Галлеєм. Статистичні дані можуть бути отримані з дат народження і смерті, зібраних на кладовищах окремих регіонів.
Для того, щоб вибірка була репрезентативною
досліджувались населені пункти з різною чисельністю населення, і різним
географічним положенням. Фіксувались такі параметри: рік народження (Birth), рік
смерті (Death), стать (Gender), назва кладовища (Cemetery), регіон (Region). Інші параметри
обчисювались безпосередньо за наведеними вище: індикатор завершеності даного
дослідження (Censored), число прожитих років (Years).
|
Рис. 1 |
Для обробки даних використовувався пакет STATISTICA v.7. На Рис.1 представлена таблиця смертності для п’ятирічних вікових груп.
Природно порівняти результати досліджень, одержані з використанням різних підходів.
2.
Порівняльний аналіз.
Порівняємо таблицю смертності на Рис.1 з таблицею смертності, побудованою за офіційною методикою Держкомстату України.
Колонкам офіційної таблиці №2 (імовірність дожити до початку наступного вікового інтервалу) і №7 (середня очікувана тривалість майбутнього життя) відповідають колонки Proportn Survivng та Median Life Exp на Рис.1. Дані для порівняння представлені на Рис.2 і Рис.3. Віддношення результатів різних методик зображено на Рис.4.
|
ймовірність
дожиття до початку наступного вікового інтервалу |
|||
|
Роки |
Альтерн |
Стандарт |
Віднош |
|
0 |
0,99959 |
0,98731 |
1,01244 |
|
5 |
0,99959 |
0,99593 |
1,00368 |
|
10 |
0,99837 |
0,99792 |
1,00045 |
|
15 |
0,99755 |
0,99819 |
0,99936 |
|
20 |
0,99918 |
0,99587 |
1,00332 |
|
25 |
0,99590 |
0,99204 |
1,00389 |
|
30 |
0,99094 |
0,98956 |
1,00139 |
|
35 |
0,98836 |
0,98551 |
1,00289 |
|
40 |
0,98234 |
0,98020 |
1,00218 |
|
45 |
0,97774 |
0,97154 |
1,00638 |
|
50 |
0,96060 |
0,95927 |
1,00138 |
|
55 |
0,95898 |
0,94252 |
1,01746 |
|
60 |
0,89639 |
0,92037 |
0,97394 |
|
65 |
0,86957 |
0,88715 |
0,98018 |
|
70 |
0,79756 |
0,84477 |
0,94412 |
|
75 |
0,74159 |
0,78071 |
0,94989 |
|
80 |
0,61443 |
0,68698 |
0,89440 |
|
85 |
0,55369 |
0,53440 |
1,03610 |
|
Рис. 2 |
|
Середня
очікувана тривалість майбутнього життя |
|||
|
Роки |
Альтерн |
Стандарт |
Віднош |
|
0 |
76,21 |
68,59 |
1,11114 |
|
5 |
71,22 |
68,47 |
1,04017 |
|
10 |
66,23 |
64,74 |
1,02298 |
|
15 |
61,26 |
59,87 |
1,02317 |
|
20 |
56,30 |
54,98 |
1,02404 |
|
25 |
51,32 |
50,19 |
1,02245 |
|
30 |
46,39 |
45,57 |
1,01801 |
|
35 |
41,55 |
41,03 |
1,01275 |
|
40 |
36,76 |
36,59 |
1,00466 |
|
45 |
32,07 |
32,28 |
0,99353 |
|
50 |
27,46 |
28,15 |
0,97533 |
|
55 |
23,12 |
24,23 |
0,95424 |
|
60 |
18,79 |
20,55 |
0,91421 |
|
65 |
15,36 |
17,11 |
0,89778 |
|
70 |
12,01 |
13,95 |
0,86060 |
|
75 |
9,22 |
11,04 |
0,83556 |
|
80 |
7,09 |
8,42 |
0,84162 |
|
85 |
5,82 |
6,10 |
0,95488 |
|
Рис. 3 |
|
Рис. 4 |
Обидві методики побудови таблиць смертності дають близькі результати в інтервалі 5 – 55 років. Відхилення, які спостерігаються після 55 років потребують додаткових досліджень.
Література:
1. Залетов О.М. Убезпечення життя. – К., 2006.
2. Бауэрс Н., Гербер Х. и др. Актуарная математика. – М., 2001.
3. Міхайленко В.М., Теренчук С.А., Кубайчук О.О. Теорія ймовірностей, ймовірнісні процеси та математична статистика. – К., 2007.
4. http://ukrstat.gov.ua/control/uk/localfiles/display/metod_polog/snas/page_4.htm.