Секция: физика, подсекция 1

Белов В.Т., Гапонов А.И.

Крымский экономический институт ГВУЗ «КНЭУ им.В.Гетьмана»

Об операторных свойствах дельта-функции Дирака

Введение.

Дельта-функция была введена в 1927 г. П.Дираком для решении проблемы непрерывного сплошного спектра электромагнитного излучения. Согласно [1] она определяется следующими соотношениями

=

Согласно [2] -функция Дирака обладает свойствами как обычной функции так и свойствами оператора. Операторные свойства -функции определяются выражением

,

из которого следует, что операторные свойства сводятся к умножению значения функции на единицу. Однако возникает вопрос о том, не действует ли функция Дирака как оператор на функцию каким-либо другим образом.

Действительно, согласно специальной теории (СТО) относительности в природе существует максимальная скорость передачи (считывания) данных равная скорости света. Если числовое значение является иррациональным числом, то оно содержит бесконечное число десятичных знаков. Выбирая из счетного бесконечного множества десятичных знаков числа десятичные знаки со скоростью , получаем, что время считывания всех десятичных знаков числа равно . Так как время всех измерений в физике конечно, то согласно СТО следует, что все числа, встречающиеся в физике, должны быть рациональными. Таким образом, возникает вопрос о том, учитывает ли оператор функции это требование СТО ?

Целью настоящей статьи является рассмотрение других возможных свойств оператора функции Дирака.

Теоретическая часть.

Для того, чтобы выяснить возможны ли другие действия функции как оператора на функцию , рассмотрим выражение

.

Согласно [3] по теореме о разложении "1" для функций , аппроксимирующих , имеем

.

Пусть такая функция, аппроксимирующая поведение функции на интервале . Тогда эту функцию можно представить следующей интегральной суммой в обозначениях, принятых в [4],

.

Пусть какие-то значений в этой сумме – рациональные числа, а значений – иррациональные. Тогда, обозначив через рациональное число сумму рациональных чисел, а через иррациональное число , соответственно, сумму рациональных чисел, получим

.

Ясно, что по правилам действия над приближенными числами предел последовательности иррациональных чисел есть число иррациональное, а предел последовательности рациональных чисел есть число рациональное. Сумма рационального и иррационально чисел не может быть равной рациональному числу (в данном случае – 1). Рациональное число всегда является суммой рациональных чисел. Сумма же иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным числом. Сумма двух иррациональных чисел есть рациональное число только в том случае, когда или . Так как согласно определению дельта-функции не накладывается никаких ограничений на значение функции в точках, то указанное соотношение противоречит условиям задания дельта-функции Дирака. Поэтому значения, аппроксимирующие функцию должны быть только рациональными. Тогда соотношение может быть записано в виде . Так как в этом случае обычная аналитическая рациональная функция, то в соответствии с правилами действий с приближенными числами произведение рациональной функции на действительную функцию дает всегда рациональную функцию. Таким образом, действие оператора дельта-функции сводится не только к умножению на 1, но и приводит к рационализации функции .

Рассмотрим этот вопрос с другой точки зрения. Согласно [5] конкретное множество рациональных чисел, на котором определена функция , имеет минимальный элемент, который в [6] предложено называть -атомом меры.

В [6] дается следующее определение - атома меры: «Множество А называют атомом меры или -атомом, если не имеет подмножеста, принадлежащих классу и отличны от и », где - класс множеств, т.е. множество, элементы которого сами являются множествами, а - пустое множество. Таким образом, -атом – это совокупность элементов множества , которые как бы «склеиваются» в одну точку и выступают как единое целое, не подлежащее дроблению. Согласно [5] - атом и представляет минимальный элемент класса множеств .

Тогда значение функции точке представляет собой интеграл (сумму) значений функций, содержащихся в одном атоме меры. Итак, с этой точки зрения рационализация значения объясняется введением соответствующего атома меры, задаваемого экспериментальными условиями получения сплошного непрерывного спектра электромагнитного излучения.

Вывод.

Операторные свойства дельта-функции Дирака заключаются в рационализации функции действительного переменного по некоторой конечной интегральной мере, определяемой начальными физическими условиями.

Литература.

1. Мессия А.; Квантовая механика, т.Ι, М., Наука, стр.480.

2. Математическая энциклопедия, т.ΙΙΙ.

3. Владимиров В.Ф., Обобщенные функции в математической

физике, М., Наука, 1979, с.468.

4. Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального

Исчисления, т.ΙΙ, М., Физматгиз.

5. Алексадров П.С. Введение в теорию множеств и новую

Топологию, М., Наука, 1977, с.368.

6. Толстов Г.П., Мера и интеграл, М., Наука, 1974, с.392.