К.п.н. Асмолова Л.А.

Восточно-Казахстанский государственный технический университет

им. Д. Серикбаева, Казахстан

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОЙ РАССТАНОВКИ ИГРОКОВ ФУТБОЛЬНОЙ КОМАНДЫ НА ПОЛЕ

Профессиональная деятельность современного педагога или тренера предполагает необходимость принятия быстрого и верного решения. Цена ошибки в педагогической деятельности очень высока. Для поиска эффективного решения проблемы следует обладать возможно большим объемом информации о рассматриваемом объекте. Так, в процессе тренировки тренер должен одновременно учитывать уровень физической подготовленности спортсмена, его функциональное состояние, особенности психики, параметры прошедшей и предстоящей соревновательной деятельности и т.п. Объем информации настолько велик, что тренер зачастую не в состоянии ее полностью проанализировать, а это влечет за собой серьезные просчеты в управлении тренировочными процессом.

Для обеспечения высокой эффективности организационной работы тренера имеется много путей, однако из современных методов наиболее эффективным является использование компьютерной техники. Умение работать с разнообразными компьютерными программами позволят преподавателю и тренеру знакомиться с новейшей информацией через систему Интернет.

Результаты научных исследований, новейшие методические разработки останутся не востребованными до тех пор, пока они не будут проанализированы специалистами-практиками. К сожалению, передовой опыт, новые технологии на сегодняшный день остаются достоянием далеко не многих. Одна из причин - слабая осведомленность не только работников среднего звена, но и управленцев, чрезвычайно низкий уровень их информационной культуры.

Опытный тренер, хорошо знающий своих игроков, обычно успешно справляется с проблемой распределения между ними игровых обязанностей. Задача, связанная с использованием запасных игроков в разных сочетаниях, оказывается более сложной, если команда имеет «длинную скамейку» (в команде много игроков примерно одного класса). В этой ситуации даже опытному тренеру может помочь рассмотрение соответствующей математической модели.

Для начала ограничимся рассмотрением достаточно простой и не столь уже редкой ситуации. Незадолго до ответственного матча в команде были заменены не только ряд игроков, но так же и тренер. Его место занял новый, недостаточно опытный наставник, к тому же мало знакомый с отдельными игроками и с их возможностями. Перед новым тренером стоит задача: распределить между игроками команды обязанности таким образом, чтобы общая результативность действий всей команды оказалась наибольшей.

Попытаемся помочь новому тренеру, используя методы исследования операций. С этой целью придадим задаче, сформулированной на вербальном уровне, более точную форму и займемся построением ее математической модели. Если ничего не знать об игроках, то нечего и решать, - можно действовать наугад. Поэтому полезны даже ограниченные сведения. Следует воспользоваться каким-либо приемом, позволяющим в приемлемые сроки ознакомиться с возможностями всех игроков. Обычно поступают следующим образом. Членам команды предлагают серию тестов, позволяющих оценить их способности играть в нападении, левым защитником, правым защитником, центровым защитником, левым полузащитником, правым полузащитником и центровым полузащитником. Действия игрока А_i (i=1..n, где n – количество игроков в команде), оценим в некоторых условных баллах, к примеру от 1 до 9.

В рамках этого же метода тренер может решать и такой вопрос: выпускать ли ему двух центровых защитников или двух нападающих (вместо одного). Результаты тестов сведем в таблицу 1.

Чем выше балл, тем предпочтительнее назначение игрока на соответствующее амплуа. Так, например, игрок А₁, вероятно, будет хорошим центровым защитником, но слабым правым и левым полузащитником, а игрок А4, в общем-то, равно хорошо играет всюду, а в нападении совсем плохо. Вторая строка отражает стиль расстановки, т.е. необходимое количество игроков на каждое амплуа.

Таблица 1 -Результаты тестов амплуа игроков

Игрок	Напад.	Левый защит.	Правый защит.	Центровой защит.	Левый полузащ.	Правый полузащ.	Центровой полузащ.
А1 А2 А3 А4 ….	5 7 4 2 ….	7 8 3 7 ….	6 9 7 6 ….	8 4 4 7 ….	5 5 6 7 ….	2 7 6 6 ….	3 6 7 6 ….
Стиль расстан.	2	1	1	2	1	1	2

В профессиональном футболе существует множество стилей расстановки игроков и каждый имеет конкретное обоснование. Ограничимся пятью для того, чтобы рассмотреть разные комбинации: 4-4-2 – стандартная; 4-3-3 – усилено нападение; 4-5-1 – усилена полузащита по центру; 5-3-2 – усиление центровой защиты; 3-4-3 – усиление лицевого фронта.

В общем виде результаты тестов можно представить в виде следующей матрицы:

С_1,1 С_1,2 … С_1,m

С = С_2,1 С_2,2 … С_2,m

…………………….

С_n,1 С_n,2 … С_n,m

Каждый элемент матрицы С_ij отражает способность i-го игрока (i=1..n) играть в j-м амплуа (j=1..m).

Соответствующий вид примет матрица назначений:

X_1,1 X_1,2 … X_1,m

X = X_2,1 X_2,2 … X_2,m

…………………….

X_n,1 X_n,2 … X_n,m

Каждый элемент матрицы X_ij отражает назначение i-го игрока (i=1..n) на роль j (j=1..m) и может принимать только 2 значения:

X_ij=

1, если игрок i назначен на роль j,

0 в ином случае.

При этом в каждой строке матрицы Х может быть только один элемент равный единице, тем самым мы ограничим назначение i-го игрока только на одно назначение.

Соответственно, через вектор B мы обозначим стиль расстановки – необходимое количество игроков на каждое (1..m) назначение:

B=( B₁; B₂; …….B_m).

Вместе с тренером мы примем естественное предположение (критерий эффективности), согласно которому эффективность игры всей команды определяется суммой баллов, оценивающих игру каждого и его назначение. Обозначим его через F, тогда F(Х)=X*C. При этом поиск матрицы назначений Х, доставляющей эффективности F наибольшее значение – это и есть поиск оптимальной расстановки игроков.

Сформулированная задача и есть математическая модель задачи о распределении обязанностей в футбольной команде, где (1) – целевая функция максимизации результата игры всей команды; (2) – ограничение о назначении i-го игрока только на одно амплуа; (3) – ограничение назначения на j-е амплуа столько игроков, сколько их определено на данное амплуа с учетом стиля расстановки; (4) – требование неотрицательности неизвестных.

Как видно, наша математическая модель ничто иное, как транспортная задача линейного программирования.

Однако такой вид слишком обобщенный, поэтому конечная математическая модель оптимальной расстановки игроков футбольной команды на поле, которая обеспечит тренера обоснованными решениями о распределении игровых обязанностей между членами футбольной команды с целью достижения максимальной эффективности игры всей команды с основным составом 22 игрока (вратаря не учитываем) примет следующий вид:

,

Так как наша задача открытого типа, то для ее решения было введено фиктивное 8-е амплуа, имеющее нулевые оценки. Оно позволило привести нашу задачу к правильному балансу:

таким образом все игроки получат назначение.

Автоматизированное средство поиска оптимальной расстановки игроков футбольной команды реализовано на основе вышеизложенной математической модели. Разработанная математическая модель оптимальной расстановки игроков футбольной команды на поле позволяет тренеру принимать обоснованные решения о распределении игровых обязанностей между членами футбольной команды, с целью достижения максимальной эффективности игры всей команды в предстоящем матче.