Карачун В.В., Мельник В.М.

Національний технічний університет України «КПІ»

ВИЗНАЧЕННЯ ПОЛОЖЕННЯ РУХОМИХ АПАРАТІВ У ПРОСТОРІ

Інерціальні системи відліку. Відносний рух. Сили інерції. Підґрунтя динаміки складають закони, які вперше в найбільш повному і остаточному вигляді сформульовані І. Ньютоном (Newton) в його фундаментальній праці “Математичні початки натуральної філософії ” у 1687 році.

Першим законом І. Ньютон назвав принцип інерції, сформульований Г. Галілеєм.

Суттєвою обставиною при вивченні руху тіл відносно одне одного постає вибір системи відліку, що в свою чергу, пов’язане з прийнятими уявленнями про простір і час. Природно виникає питання – відносно якої системи відліку справедливий принцип інерції.

Ньютон, окреслюючи закони динаміки, запропонував модель простору і часу, яка припускає наявність абсолютно нерухомого евклідового тривимірного простору і абсолютного часу, тобто часу, що однаково плине для всіх спостерігачів, де б вони не знаходилися і яким би не був їх рух.

Виходячи з цього, І. Ньютон припустив можливість існування абсолютної, тобто нерухомої, системи координат, яка не зв’язана з матеріальними тілами. Для такої системи відліку він і вважав діючим принцип інерції.

Подальший розвиток уявлень щодо простору привів до повного заперечення поняття абсолютного простору. Тому терміни спокій, стала швидкість і т.і. позбавлені об’єктивного наповнення. Використовуючи ці терміни, необхідно означати, в якій системі відліку вивчається рух. Але рух із сталою швидкістю в одній системі відліку може бути прискореним в іншій, тому принцип інерції не містить універсальності, хоча в деяких системах має місце.

Ідеологію наступного викладення окреслимо таким чином:

1. Закони класичної механіки постулюються для руху тіл відносно деякої абсолютної системи координат, за яку може бути прийнятий тригранник, що утворений осями якої-небудь прямокутної декартової системи координат з початком в центрі інерції нашої Сонячної системи; осі абсолютної системи не змінюють свого напрямку відносно орієнтирів на віддалені зірки, так званими, нерухомими. В такій системі координат закони механіки Галілея-Ньютона підтверджуються, як відомо, виключно точно.

Прийнято іменувати галілеєвою або інерціальною довільну систему відліку, систему координат, яка рухається поступально, рівномірно і прямолінійно відносно абсолютної системи. Легко довести, що рух тіл відносно довільної інерціальної системи підпорядкований одним і тим же, за формою, законам Галілея-Ньютона. В цьому розумінні всі інерціальні системи рівноправні (принцип відносності Галілея).

Докладніше зупинимося на поступально рухаючихся системах координат, в яких їх початок, і відповідно, довільні точки з незмінними в цих системах координатами рухаються прямолінійно і рівномірно відносно абсолютної системи координат, тобто рухаються з абсолютним прискоренням, яке дорівнює нулю. Це, так звані, галілеєві системи координат, або як їх іменують фізики – галілеєві системи відліку. Зрозуміло, сюди включається і місцевий годинник. В таких рухомих системах координат не тільки коріолісові , але і переносні сили інерції дорівнюють нулю, і, отже, основне рівняння динаміки

(1)

для галілеєвих систем за формою співпадає з основним рівнянням динаміки в абсолютній системі координат –

(2)

Звідси походить, що абсолютна система не має яких-небудь особливих, тільки їй властивих, переваг. Будь-яка галілеєва система координат їй повністю еквівалентна. Всі закони механіки та наслідки з них при вивченні руху відносно довільної галілеєвої системи мають ідентичний вигляд. Галілеєві системи подекуди іменують також інерціальними.

Назва інерціальних систем координат галілеєвими скоріш має на меті додаткове увічнювання пам’яті геніального ученого Г. Галілея ніж відображення факту запропонування її самим, Г. Галілеєм, точно в тому вигляді, як ми її розуміємо. Г. Галілей в своїх “Беседах” приймає, що всередині корабля, що рухається рівномірно в одному напрямку, всі механічні явища, зокрема падіння тіл, не відрізняються від аналогічних явищ, що кояться всередині нерухомого корабля, який пришвартован до пірсу. Проте, Г. Галілею сферична форма Землі та факт її обертання були добре відомі. Таким чином, він за інерціальну систему координат в нашому розумінні, приймав систему, що рівномірно обертається навколо Землі по великому колу. Як наслідок, стрільба з пушки під тим самим кутом до горизонту на схід і захід, на думку Г. Галілея, має однакову дальність. До речі, за Г.Галілеєм, падаючі тіла також не відхиляються у бік сходу від вертикалі. Цікаво, що Г. Галілей був надзвичайно близьким до відкриття першої космічної швидкості поставивши питання – а чи завжди впаде на Землю ядро пушки, що стріляє горизонтально (за умови відсутності опору з боку повітря). Він схибив при обчисленні нескінченно малих.

2. Реально існуючими оголошуються лише ті сили, які породжують прискорення матеріальних точок і тіл відносно абсолютної системи координат, або, що те ж саме, відносно довільної інерціальної системи відліку. Ці сили іменуються природними чи фізичними. Вони визначають міру механічної взаємодії тіл в природі і можуть бути різними за своїм фізичним змістом – силами тяжіння, електричними та магнітними, силами пружності та пластичності, силами опору середовища, світлового тиску тощо.

3. Фізична сила вимірюється, кінець кінцем, спричиняємим прискоренням еталона маси в абсолютній системі координат. Однак визначається вона в конкретних випадках часто-густо через параметри положення і руху тіл відносно один одного.

4. Слід відрізняти даламберові сили інерції від сил інерції, які вводяться при вивченні руху матеріальних точок і тіл відносно рухомих систем координат. Останні іменуються ейлеровими силами інерції. Цей термін новий. Леонард Ейлер вперше використав рухомі системи координат для розв’язання складних задач механіки, наприклад, динаміки тіла з однією нерухомою точкою. До цього часу Х. Гюйгенс використовував рухомі системи координат при вивченні співударяння куль. І даламберові, і ейлерові сили інерції не являються фізичними і в цьому розумінні фіктивні (не реальні). Впровадження цих сил умовне, хоча в цілому ряду випадків воно виявляється корисним для розв’язання і пояснення окремих явищ механіки.

Відповідно до рівняння (2), механіка відносного руху відрізняється від механіки абсолютного руху необхідністю урахування поряд з фізичними силами також і фіктивних, тобто ейлерових – переносної і коріолісової. Отже, ейлерові сили інерції прирівнюються до тих фізичних, які слід додати до вихідних фізичних сил, щоб відтворити відносний рух якої-небудь механічної сукупності як рух абсолютний. Завдяки такому визначенню ейлерових сил інерції, виявляються непотрібними не зовсім ясні, але все ж таки зустрічаємі міркування, що спостерігачем сили інерції повинні розглядатися як звичайні, що переміщуються разом з рухомою системою координат, приймаючи її за нерухому.

5. Даламберові сили інерції вводяться при вивченні абсолютного руху взаємопов’язаних матеріальних точок і являють собою уявні сили, кожна з котрих дорівнює добутку маси точки на її прискорення, але напрямлена в протилежний бік вектора прискорення. Фізичні сили, що діють на механічну сукупність, разом з даламберовими силами інерції утворюють статично врівноважену систему сил. Остання підпорядкована законам статики.

6. Ейлерові сили інерції різняться для однієї і тієї ж механічної сукупності, якщо вивчати її рух відносно різних рухомих систем координат. За всіх умов, рухома система координат та її переміщення відносно системи абсолютної повинні бути означені з самого початку дослідження.

Задання положення рухомого об’єкту в просторі. Поняття про рух, так само як і поняття про спокій, за самою своєю суттю являється відносним. Отже, доходячи висновків щодо стану руху чи спокою твердого тіла, перш за все слід визначити предмет, відносно якого змінюється в часі (або не змінюється) положення цього тіла. При аналітичному описі руху за такий предмет обирається декартова система координат. Вибір її, власне кажучи, чиниться довільно. Обирається умовно нерухома (абсолютна) система відліку, осі якої позначимо .

В рухомому тілі довільну точку О приймемо за початок системи координат , яку жорстко зв’яжемо з тілом (рис. 1). Цю систему координат будемо іменувати рухомою, або відносною. Природно, що координати будь-якої точки М тіла в рухомій системі будуть означеними і незмінними увесь час.

Положення рухомого об’єкту вважається визначеним, якщо відомі в довільній момент часу координат будь-якої його точки в абсолютній системі відліку. Якщо та – радіус-вектори полюса О і довільної точки М в опорній системі, а – радіус-вектор цієї точки відносно полюса О, тоді відповідно до рис. 1 маємо очевидне співвідношення –

, (3)

де – орти рухомої системи координат.

Слід пам’ятати, що координати сталі за весь час руху. Тоді як одиничні вектори системи являються функціями часу (змінюється їх положення).

За обраної схеми, абсолютним рухом т. М об’єкту вважається її переміщення відносно абсолютної системи відліку , відносним – рух відносно рухомої системи . Переносним рухом іменується переміщення системи координат відносно абсолютної системи .

Очевидно, що одному векторному рівнянню (3) еквівалентні три скалярних –

(4)

де – напрямні косинуси і дорівнюють проекціям ортів на відповідні осі абсолютної системи координат .

Таким чином, мають місце дванадцять функцій часу:

координати полюса т. О – (5)

дев’ять напрямних косинусів –

(6)

Формули (4) являють собою загальні рівняння руху об’єкта. Вони безпосередньо подають координати будь-якої точки рухомого апарату у функції часу в абсолютній системі відліку. Координати полюса визначають поступальний рух об’єкту, напрямні косинуси окреслюють рух навколо полюса т. О.

Дев’ять напрямних косинусів не виявляються незалежними. Між ними існує певна кількість співвідношень. Перш за все, сума квадратів напрямних косинусів довільної прямої в декартовій системі координат дорівнює одиниці, тобто:

(7)

Крім того, довільна пара осей рухомої системи взаємно перпендикулярна, тому очевидні рівності:

(8)

Аналогічні міркування дають також наступне:

(9)

Між дев’ятьма напрямними косинусами існує ще декілька співвідношень, однак незалежними будуть тільки шість, наприклад, (7), (8), або (7), (9). Отже, можна довільно задати тільки три напрямних косинуси, інші шість обчислюються із однієї з наведених систем. Вирази ці досить громіздкі.

Кути Ейлера. Геометрія на сфері. З міркувань геометричної наочності та для зручності аналітичних операцій Л. Ейлером (Euler) запропоновано для характеристики повороту тіла навколо полюса т. О користуватися замість напрямних косинусів трьома кутами, через тригонометричні функції яких обчислюються всі дев’ять напрямних косинусів. Це кут (рискання) повороту рухомого апарату відносно вертикальної осі , кут (диферента, тангажа) нахилу його поздовжньої осі до площини горизонту, кут (крен) повороту навколо поздовжньої осі.

У всіх випадках, коли йдеться про геометричне зображення повороту твердого тіла навколо точки (полюса), зручно користуватися сферою одиничного радіусу із центром, що співпадає з обраним полюсом. Оскільки йдеться тільки про повороти, можна вважати полюс нерухомим.

Опорну систему координат та зображені на поверхні одиничної сфери дуги великих кіл , , , що відповідають координатним площинам, зручно відтворити одним з варіантів, наведених на рис. 2.

Ейлерові кути, що певним чином визначають поворот твердого тіла навколо полюса, найбільш доцільно окреслити наступною послідовністю. Припустимо, що спочатку рухома система відліку і абсолютна співпадали. Здійснимо поворот рухомої системи координат відносно осі абсолютної системи відліку на кут (кут прецесії). Внаслідок цього дійства, осі та, що співпадали з осями і , набудуть нового положення – відповідно, та (рис. 3, а). Нагадаємо, напрям обертання узгоджується із знаком систем координат – додатній поворот у правій трійці проводиться проти ходу стрілки годинника, в лівій, навпаки, – за ходом стрілки годинника.

Другий поворот на кут здійснимо відносно нового положення осі , тобто відносно . Тепер осі та прийдуть в рух у площині . Як наслідок, ось займе остаточне положення , ось – перейде в нове положення (рис. 3, б).

Нарешті третій, останній, поворот виконаємо навколо осі на кут . Внаслідок цього, система координат перейде у своє остаточне положення (рис. 3, в).