Технические науки. Механика

Алимгожина Д.Б., Кожахметова А.К., Умбеталиева У.Л.

Карагандинский государственный технический университет, Казахстан

Математическое планирование эксперимента вибрационной системы

В настоящее время накоплен обширный опыт применения математического планирования эксперимента в самых различных областях деятельности - в научных, научно-технических исследованиях, в практике промышленного эксперимента, медицине, химии и т.д. Под планированием эксперимента понимается: процедура выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для увеличения эффективности исследований при относительно небольшом числе опытов; оценка случайных и систематических ошибок эксперимента; интерпретация полученных результатов.

Так как эксперименту предшествовал этап аналитических исследований, достаточно полно и точно описывающий исследуемый процесс, то хорошо поставленный научный эксперимент послужит для подтверждения результатов расчета.

Выделяют следующие этапы планирования эксперимента: сбор и анализ априорной информации; выбор входных и выходных параметров; выбор математической модели, с помощью которой будут представлены экспериментальные данные; выбор критерия оптимальности и плана эксперимента; определение метода анализа данных; интерпретация результатов эксперимента.

Объектом исследований является вибрационная система "вибратор-среда". Проведенные аналитические исследования выявили функциональную зависимость между входными параметрами, характеризующими конструкционные особенности вибратора; физико-механическими свойствами рабочей жидкости, испытываемой конструкции и геологической среды, и входными кинематическими характеристиками системы: перемещением, скоростью и ускорением [1,2]. Исследование устойчивых режимов движения системы выявили доминирующее влияние таких параметров системы, как величина инерционной нагрузки m* , приведенная жесткость системы c* и частота управляющего сигнала f, которые и рекомендуется выбрать в качестве влияющих факторов (входных параметров) [3]. В качестве отклика (выходного параметра) выбирается наиболее важная, с точки зрения решаемой проблемы, характеристика - ускорение системы. Величины перемещения, скорости системы при этом может играть роль ограничивающих факторов. Таким образом, выходной показатель является функцией трех влияющих факторов:

(1)

Задача состоит, во-первых, в том, чтобы выяснить какие из входных параметров системы оказывают наиболее существенное влияние на выходной показатель, во-вторых, установить характер этого влияния и, в третьих, найти направление, в котором следует изменить величины входных параметров для получения необходимого экспериментатору уровня выходного показателя.

Центральным вопросом теории планирования эксперимента является вопрос о выборе математической модели, т.е. о конкретной функции представляющей зависимость, которая адекватно описывает исследуемый процесс [4].

Проведение эксперимента разбивается на два этапа. На первом этапе проверяется возможность описания процесса линейными моделями в виде полинома первого порядка, предполагая, что выходная величина а зависит лишь от линейных эффектов входных величин m*, f, с*. Для построения данной линейной модели достаточно варьировать факторы на 2-х уровнях.

Проведению эксперимента предшествует решение вопроса о выборе области экспериментирования, которая в наибольшей степени интересует экспериментатора. Локальная область задается выбором уровней влияющих факторов m*, f, c* (центра эксперимента) и интервалов их варьирования.

Математическая модель процесса задается уравнением:

, (2)

где а – ускорение системы, а b₀, b₁, b₂, b₃ – коэффициенты, оценивающиеся по результатам опытов.

После подбора математической модели и задания уровней и интервалов варьирования строится план эксперимента типа 2³, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Количество необходимых для этого опытов определяется по формуле: n= 2^k=2³=8, где k – количество факторов.

Для оценки ошибки воспроизводимости все опыты дублируются. Во избежание систематических ошибок план повергается рандомизации, для чего порядок проведения опытов выбирается по таблице случайных чисел.

Для математической обработки результатов эксперимента используется матричный подход к обработке данных. Экспериментальные данные представляются в матричной форме:

(3)

где а – вектор-столбец наблюдений; Х – матрица независимых переменных; В – вектор-столбец неизвестных коэффициентов регрессии; E –- вектор ошибок.

Прежде чем приступить к определению процесса по формуле (2) необходимо провести ряд проверок [5]:

1. Проверка результатов на выброс производится в том случае, если какой-либо результат вызывает сомнение (например, резко отличается по величине от остальных, ему параллельных).

2. После устранения выброса рассчитывается среднее значение в каждой строке плана.

3. Проверка на нормальность распределения здесь необходима исходя из условия регрессивного и дисперсионного анализов, требующего нормального распределения результатов эксперимента.

4. Проверка на воспроизводимость эксперимента означает проверку дисперсий, полученных в эксперименте, на однозначность.

5. Статистическая проверка коэффициентов регрессии на значимость. Это проверка проводится для исключения из рассмотрения коэффициентов, оказывающих незначительное влияние на изменение ускорение нашей системы.

6. Проверка математической модели на адекватность. Проверка проводится для установления соответствия математической модели процессу.

Выполнив все статистические проверки и отбросив все незначимые коэффициенты, уравнение регрессии, записанное в кодированном виде, представляется через натуральные переменные и рассматривается вопрос об интерпретации полученных результатов. Вопрос делится на два этапа. На первом этапе устанавливается, в какой степени каждый параметр влияет на выходную величину. Количественной мерой этого влияния служит величина коэффициента регрессии, чем больше коэффициент, тем сильнее влияет соответствующий фактор. О характере влияния фактора судят по знаку коэффициента. Если коэффициент при факторе положителен, то с увеличением фактора выходной параметр увеличивается, если коэффициент отрицательный, то данный фактор с увеличением своего значения приводит к уменьшению отклика.

На втором этапе описываются оптимальные условия, т.е. описываются такие значения факторов, которые обеспечивают удовлетворительное решение поставленной задачи. В нашем случае отыскиваются такие значения факторов m*, f, с* и их сочетаний, которые позволяют получить заданные ускорения при заданных значениях ограничивающих параметров – размаха колебаний и скорости системы "вибратор-среда". Хороший эффект дает построение геометрических образов в виде двухмерных сечений с помощью которых изображаются кривые равного выхода для двух факторов, при неизменном третьем.

Предложенный план проведения научного эксперимента, ставящий перед собой задачи подтверждения результатов расчетов, проведенных на основе принятой математической модели, позволяет оценить случайные систематические ошибки, возникающие при проведении испытаний, а также дать интерпретацию полученных экспериментальных данных. Последние позволяют оценить в количественном и в качественном отношении влияние входных величин на выходные параметры системы "вибратор-среда".

Литература:

1. Правдин О.Ю. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук «Обоснование параметров ассиметричных режимов низкочастотных виброисточников рабочих органов строительных машин» – Алматы, 1990 г., 23с.

2. Алимгожина Д.Б., Газизова Г.М., Филистов С.В. «Динамика и устойчивость движения системы «вибратор-конструкция-среда» – Республиканский конкурс научно-исследовательских работ студентов; диплом третьей степени, 2008 г., 23 с.

3. Кожахметова А.К., Газизова Г.М., Алимгожина Д.Б. «Условия устойчивости вибрационной системы». – В трудах Международной научной конференции «Наука и образование – ведущий фактор стратегии «Казахстан – 2030». 24-25 июня 2008 г., с.304-309.

4. Протодьяконов М.М., Тедер Р.И. Методика рационального планирования эксперимента – М: Наука, 1970 г., 76 с.

5. Зедгинидзе И.Т. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем – М: Наука, 1976 г., 387 с.