Марьенков В.С.

Донецкий Национальный Технический Университет

Синтез робастного регулятора для системы электромагнитного подвеса с учетом неопределенностей и шумов в канале измерения

Система электромагнитного подвеса (ЭМП) основана на эффекте магнитного притяжения электромагнита к феррорельсу (ФР). Сила притяжения к ФР, которая называется подъемной, должна уравновешивать все нагрузки, действующие на экипаж, в том числе и силу веса экипажа.

При движении ЭМ вдоль ФР в них наводятся вихревые токи, создающие магнитный поток, размагничивающий основной магнитный поток. Возникающая при этом сила может быть разложена на тормозную, направленную против движения экипажа, и отталкивающую силу, направленную против подъемной силы. С ростом скорости движения экипажа влияние вихревых токов может достигнуть существенной величины и поэтому должно учитываться при расчете и конструировании ЭМ и ФР [1]. Что касается системы автоматического управления шириной зазора, то вышеописанные вихревые токи могут рассматриваться в ней как неопределенности или шумы в канале измерения, что весьма негативно влияет на качество управления и может привести к потере устойчивости системы. Большинство современных систем регулирования могут бороться с данной проблемой, однако для этого требуется либо увеличивать сложность регулятора, либо увеличивать затраты на управление, но не смотря на это шумы в канале измерения все равно отражаются на качестве системы. Для того, чтобы избавиться от этого недостатка необходимо использовать такую систему, которая оставалась бы устойчивой, с заданным качеством управления вне зависимости от помех канала измерений, т.е. необходимо использовать робастный регулятор.

Представим математическую модель объекта управления с наличием шумов в канале измерений в следующем виде:

(1)

где: А(t)–матрица коэффициентов переменных состояния

размерности (n x n);

В_w(t)–матрица коэффициентов входных возмущений

размерности (n x k);

В₂(t) – матрица коэффициентов управляющих воздействий

размерности (n x m);

С(t) – матрица измерений выходных величин размерности (r x n);

I – единичная матрица размерности (r x r);

- вектор переменных состояния размерности (n x 1);

- вектор управляющих воздействий размерности (m x 1);

- вектор входных возмущений размерности (k x 1);

- наблюдаемый вектор выходных переменных размерности (r x 1);

-вектор шумов измерений размерности (r x 1).

Для линейной модели с учетом внешних возмущений в пространстве состояний (1) вектор управляемых выходов может быть записан в виде:

, (2)

где С_z = С.

Таким образом, вектор контролируемых выходов, определяется следующим образом:

. (3)

Расширенный вектор входных возмущений имеет вид:

. (4)

Таким образом, объединив (1) – (4), получим систему уравнений, описывающую управляемую систему:

(5)

где (6)

(7)

Система уравнений, описывающая объект в пространстве состояний для расширенных векторов входных возмущений и контролируемых выходов, имеет вид [2]:

(8)

где (9)

(10)

Синтез робастного регулятора возможен при выполнении следующих условий:

1. (А, В₁, С₁) является стабилизируемой и детектируемой;

2. (А, В₂, С₂) является стабилизируемой и детектируемой;

3. ;

4. .

Задачу синтеза можно решить с использованием -теории и «2-Риккати подхода» [15]. Синтезируемый регулятор должен обеспечивать условие:

, (11)

где W – матричная передаточная функция, характеризующая чувствительность управляемых и управляющих переменных замкнутой системы к внешним возмущениям;

γ – уровень толерантности, скалярная величина.

Синтезируемый регулятор имеет структуру фильтра Калмана:

(12)

Вычисление матриц обратной связи регулятора и наблюдателя соответственно K и L основано на решении матричных квадратичных уравнений Лурье-Риккати.

Для синтеза регулятора зададимся значением уровня толерантности γ. По значениям матриц объекта управления найдем стабилизирующее решение уравнения:

, (13)

Далее, ищем стабилизирующее решение уравнения:

, (14)

Если же оба решения существуют и положительны, то необходимо найти их произведение, максимальное сингулярное число полученной матрицы должно быть меньше квадрата значения уровня толерантности γ².

В случае, если решение хотя бы одного из уравнений не существует, либо сингулярное число больше квадрата уровня толерантности, тогда выбирается большее значение γ и снова производятся вышеизложенные вычисления.

Для вычисления матриц обратной связи регулятора и наблюдателя К и L, воспользуемся выражениями:

, . (15)

Данный алгоритм организовывается по схеме последовательного поиска все более малого значения критерия и стабилизирующей обратной связи, обеспечивающей его достижение.

Таким образом, получены матрицы обратной связи регулятора и наблюдателя робастной системы управления. Синтезированный таким образом регулятор обеспечивает качественное управление системой, с сохранением ее устойчивости вне зависимости от наличия внешних возмущений и шумов в канале измерения.

Перечень ссылок

1. Бочаров В.И., Васюков О.Н. Системы наземного транспорта с магнитным подвесом и линейными тяговыми электродвигателями. В кн. Высокоскоростной наземный транспорт с линейным приводом и магнитным подвесом. Под ред. В.И. Бочарова и В.Д. Нагорского. – М.: Транспорт, 1985. 273 с.

2. Позняк А.С., Семенов А.В., Себряков Г.Г., Федосов Е.А. Новые результаты в Н_∞ - теории управления//Техническая кибернетика. – 1991. - №6. – с.10-39

3. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. Пер. с англ. Копылова Б.И. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2004. – 832 с.

4. Гудвин Г.К., Гребе С.Ф., Сальгадо М.Э. Проектирование систем управления. – М.: БИНОМ Лаборатория знаний. – 2004. – 911 с.