Математика/ 5. Математическое моделирование

К.ф.-м.н. Искакова А.С.

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Казахстан

Математическая обработка данных доходов финансовых активов

1. Построение аналитической зависимости доходов финансовых активов. Одними из задач поставленных перед владельцами финансовых активов является составление прогноза доходов.

По консолидированной финансовой отчетности владельцев финансовых активов имеем статистические данные доходов за последние k лет y₁=f(x₁), y₂=f(x₂), …, y_k=f(x_k).

Нас интересует, как выглядит функциональная зависимость между x_i и y_i, где i определяет год отчетности.

Пусть y – функция одной переменной с двумя параметрами a и b. Согласно [1], в качестве набора выбора функций, из которых будем иметь эмпирическую зависимость, рассмотрим: линейную функцию ; показательную функцию ; дробно-рациональную функцию ; логарифмическую функцию ; степенную функцию ; гиперболическую функцию ; дробно-рациональную .

Для наилучшего выбора вида аналитической зависимости y=f(x,a,b), соответствующий построенному графику, построим следующие промежуточные вычисления. На заданном отрезке изменения независимой переменной выберем точки, достаточно надежные и по возможности, далеко отстоящие друг от друга. Будем считать, что это x₁ и x₂. Вычислим среднее арифметическое , среднее геометрическое и среднее гармоническое . По вычисленным значениям независимой переменной найдем из построенного графика соответствующие значения переменной , , для пока еще неизвестной аналитической зависимости y=f(x,a,b). Вычислим среднее арифметическое крайних значений , среднее геометрическое и среднее гармоническое . Оценим следующие погрешности: , , , , , , . Пусть ε=min{ ε₁, ε₂, …, ε₇}. Тогда имеем следующее:

1. Если ε=ε₁, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит линейная функция .

2. Если ε=ε₂, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит показательная функция .

3. Если ε=ε₃, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит дробно-рациональная функция .

4. Если ε=ε₄, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит логарифмическая функция .

5. Если ε=ε₅, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит степенная функция .

6. Если ε=ε₆, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит гиперболическая функция .

7. Если ε=ε₇, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит дробно-рациональная функция .

Для уточнения коэффициентов a и b выбранной аналитической зависимости y=f(x,a,b) можно воспользоваться методом средних или методом наименьших квадратов.

Пример 1. Подберем эмпирическую зависимость для функции дохода грузовых перевозок АО «Национальной компании Казакстан темiр жолы», по имеющимся следующим статистическим данным: 2005г. – 175627754; 2006 г. – 209511577; 2007 г. – 243114528; 2008 г. – 295646874.

В данном случае имеем статистические данные за последние 4 года. Проведем вычисления: , и ; , , ; =2356714, =227867936,44 и =220354728,95. Из проведенных сравнений получаем, что ε=ε₂, следовательно, в качестве аналитической зависимости дохода от грузовых перевозок следует выбрать показательную функцию . С использованием метода средних были определены коэффициенты a и b. Таким образом, получили аналитическое выражение функции дохода от грузовых перевозок .

2. Моделирование вероятностно-статистического анализа оправдываемости прогноза финансового актива доходов. Допустим, что на некоторый год i строится прогноз дохода ψ(i). Пусть значение эмпирической функции дохода на этот год принимает значение y(i). Обозначим, через φ(i) разность прогноза дохода ψ(i) и значения эмпирической функции дохода y(i), то есть φ(i)=ψ(i) –y(i). Очевидно, что вероятность оправдываемости прогноза ψ(i) подчиняется нормальному распределению вероятностей с параметрами μ=0 и σ².

На практике, как правило, параметр σ² не известен. В таких случаях, используют методы статистического оценивания неизвестного параметра. Любая статистическая оценка строится по статистическим данным х=(x₁, …, x_k). Например, статистические данные «КТЖ» консолидированного отчета о доходах от грузовых перевозок можно представить в виде следующей реализации выборки х=(x₁, …, x_k)=(9485174; 6049609; -6049609; -9485174), где x_i – отклонение фактического дохода от значения эмпирической функции за i-й год.

Из курса математическая статистика известно, что оценка максимального правдоподобия любого вероятностного распределения обладает хорошими асимптотическими свойствами, то есть она является состоятельной, асимптотически нормальной и асимптотически эффективной оценкой. Также известно, что для параметра σ² нормального распределения оценка максимального правдоподобия определяется, как

.

Пример 2. Определим оценку максимального правдоподобия вероятности того, что отклонение прогноза дохода грузовых перевозок от фактических данных будет находится в пределах от наименьшего до наибольшего значений выборки доходов.

Из последней формулы и значений реализации выборки имеет, что оценка максимального правдоподобия параметра σ² есть . Используя материал курса теории вероятностей получили следующий вывод. Оценка максимального правдоподобия вероятности того, что отклонение прогноза дохода грузовых перевозок от фактических данных будет находится в пределах от наименьшего до наибольшего значений выборки доходов, равна 0,866.

Литература:

1. Данилина Н.И. и др. Численные методы.

2. Малыхин В.И. Финансовая математика. –М.:Юнити, 2003. -237 с.

3. Волков И., Загоруйко Е. Исследование операций. М-2002.

4. Искакова А.С. Условие существования оценок максимального правдоподобия для параметров одного класса многомерных распределений // Известия МОН РК, НАН РК. 2004 г. №1. – С. 90-95.

5. Искакова А.С. Об определении некоторых оценок одной вероятностной модели // Евразийский математический журнал. -2005, №2.- С. 87-101.