Ю. С. Андрианов, канд. техн. наук, доц. Марийский государственный технический университет.

В. К. Курьянов, докт. техн. наук, профессор Воронежская государственная лесотехническая академия.

ТРАНСПОРТНО-ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ

В СИСТЕМЕ ЛЕСНОГО КОМПЛЕКСА

В транспортной системе лесного комплекса, рассматриваемой модели, территориально распределенные предприятия, производства и службы, входящие в транспортно-производственные системы (ТПС) многоуровневых интегрированных структур (МИС), выступают в качестве относительно самостоятельных (т. е. имеющих полномочия организовать собственную производственную деятельность в рамках выделенных ресурсов и производственного задания) производственных звеньев, транспортные задачи формируются в соответствии с количеством производственных ингредиентов.

Сформулируем основную математическую задачу. Для этого введем необходимые обозначения. Пусть рР — множество территориально распределенных производственных звеньев (предприятий). Каждое производственное звено рР может организовать собственную работу в соответствии с производственным заданием МИС, используя имеющиеся в наличии внутренние ресурсы множества М_р. Будем считать, что множества М_р не пересекаются и определим М =_рРМ_р.Обозначим N_р N — подмножество технологических операций (технологий), выполняемых производствен-

ым звеном с индексом рР; их объединение обозначим N =_рР N_р, множества N_p, также будем считать не пересекающимися для различных рР. Поскольку решение производственной задачи может быть связано с использованием различных технологий, введем основные управляемые факторы — интенсивности использования соответствующих технологий, которым сопоставим переменные х_j (jN). Будем считать эти переменные ограниченными сверху неотрицательными величинами d_j , а их совокупность, в силу ряда внутренних производственных условий, содержащимися в некотором множестве _p. Затраты, связанные с использованием технологий, отражает функционал F_p(x: _p —>).

Кроме собственных ресурсов, производственная программа различных звеньев рР может быть связана с обработкой множества 5 внешних, существенных с точки зрения задачи планирования МИС в целом, ингредиентов (переделов) технологической системы. Предполагается, что каждый ингредиент sS связан, по меньшей мере, с двумя производственными звеньями.

Каждый из используемых ингредиентов рассматривается как некий ресурс, взаимозаменимый и равнозначный как для источника, так и для потребителя. Типичный пример ресурса sS — передел (балансы хвойных пород, технологическая щепа, целлюлоза, картон).

Интенсивности технологий производства рР определяют объемы выработки и потребления этих ресурсов ω_p[s]=(),что отражает оператор: ,то есть . Отметим, что - для пункта производства р продукта s,— для пункта потребления р продукта s, — если производство р не связано с потреблением или выработкой продукта s .

Будем считать суммарную выработку ресурсов каждого вида, ограниченными сверху и снизу значениями H_s >h_s(sS). Значения и могут быть близки или даже равны нулю для— производственного передела, положительны, если s — индекс вырабатываемой продукции и отрицательны в случае s — некоторого внешнего (ввозимого) потребляемого ресурса.

В рамках данной модели можно рассматривать внешних поставщиков сырья и потребителей продукции как некоторые «фиктивные» производства, технология которых — поставка (потребление) продукта, что позволяет замкнуть тем самым транспортную систему с учетом соответствующих транспортных затрат. Однако на уровне постановки задачи удобнее просто ввести границы выработки Н_s и h_s.

В силу пространственной распределенности, потоки материальных ресурсов являются транспортными потоками y^s_pq (p,qP, sS). Эти потоки неотрицательны, затраты связанные с транспортировкой ресурсов будем считать линейными и пропорциональными значениям при p,qP, sS.

Связав транспортные потоки и выработку (потребление) ресурсов уравнениями баланса, получаем следующую математическую модель:

. (1)

— допустимость интенсивностей технологии;

. (2)

— связь объёмов потребления (выработки) ресурсов с интенсивностями
технологий;

. (3)

— сбалансированность суммарного расходования и выработки ресурсов;

. (4)

— сбалансированность транспортных потоков производств;

. (5)

— ограниченность интенсивностей технологий;

. (6)

— неотрицательность транспортных потоков;

Целевая функция:

(7)

отражает минимальные транспортно-производственные затраты, необходимые для выполнения производственного плана.

Полученную задачу (1-7) назовем многоэтапной транспотрно-производственной задачей (МТПЗ). Легко видеть, что рассматриваемая математическая модель включает в себя все этапы транспортного процесса.

МТПЗ выступает в качестве связующей модели, цель которой – согласование планов работы предприятий, обеспечивающих эффективную работу МИС ЛПК в целом по заданным критериям. Полученная в итоге математическая модель соответствует системе управления производственным процессом верхнего уровня, цель которой – согласование агрегированных показателей работы предприятий МИС с общим критерием эффективности производственно-экономического характера.

Ограничения (1) и (5) отражают внутренние ресурсы производства (производственные блоки МТПЗ); (3-4) и (6) – межпроизводственные продуктовые связи (транспортные блоки МПТЗ), (2) и (7) – связывают перечисленные блоки между собой.

Уравнения (4) в случае фиксированных значений совместно с условиями (2) представляют собой ограничения транспортной задачи относительно . Исходя из разумного предположения о неотрицательности , часть переменных этой задачи заведомо равна нулю. Избыточное количество переменных необходимо, поскольку знак переменных может быть произвольным, что характерно для задач специализации дочерних предприятий МИС. «Мягкая» форма условий транспортных задач (возможность любых перевозок) позволяет разработать более эффективные алгоритмы решения МТПЗ по сравнению, например, с классической задачей размещения предприятий.

Неравенства (5) не включены в определение множества, поскольку они являются специальными условиями в случае линейной модели и не входят в состав ее матрицы ограничений. Однако для удобства совместного исследования всех ограничений, связывающих вектор x[n], полезно ввести множество:

,

объединяющее условия (1) и (5).

Следует отметить, что три из четырех примеров являются частными случаями

этой задачи в силу линейности функционалов и операторов

для каждого рР, а также, поскольку, определяется набором линейных ограничений.[]

Исследование этих частных случаев приводит к весьма важному варианту — линейной многоэтапной транспортно-производственной задаче, условия которой отличаются конкретизацией ограничений (1), (2) и функционала (7) следующим образом.

В линейном случае каждая технология j N_р, рР характеризуются внутренней продуктивной структурой — вектор-столбцом Aj[M_p]и внешней продуктивной структурой — вектор-столбцом Вj [S] потребления (или выработки, в зависимости от знака) внешних продуктов. Функционалявляется линейной функцией относительно с некоторыми коэффициентами вектора c[N] коэффициентов .

Будем считать, что столбцы образуют матрицы а[М_p,N_р ], а столбцы — матрицы. Вектор c[N] состоит из коэффициентов .

Теперь многогранник для рР можно описать в терминах набора линейных ограничений:

где • — один из знаков произвольного замкнутого отношения =, >, или <. В случае линейных условий задачи МТПЗ соотношения (1), (2) и (7) запишутся следующим образом:

(1') n (2') (7')

Многоэтапная транспортно-производственная задача включает группу задач распределения ресурсов, определяемых соотношениями (1) (или (1') в линейном случае) и связанных между собой посредством уравнений балансов переделов (3-4) в транспортные задачи и продуктивных соотношений переделов (2) (или (2') в линейном случае). Весь блок задач объединяет общий функционал (7) или (7').

Условия (3) и (4) представляют собой уравнения баланса транспортной задачи в матричной постановке для полного транспортного графа, матрица смежности которого состоит из единиц. На практике иногда удается сократить количество единиц матрицы смежности транспортного графа переходя при этом к сетевой транспортной задаче, которая не только имеет меньшую размерность, но и удобнее интерпретируется как на уровне формирования исходных данных, так и расшифровки результатов расчетов. Подобный вариант МТПЗ назовем сетевым. Для его постановки введем G_s =< P,E_S >— транспортный граф продукта s S, вершины которого соответствуют производствам МИС ЛПК, а дуги — магистралям транспортировки ингредиентов (дорогам, подъездным путям железнодорожного цеха, транспортным сетям и продуктопроводам) предприятия.

Определим — затраты транспортировки по дуге и — величину потока. Тогда суммарные затраты на транспортировку продукта составят Для построения уравнений баланса сетевой транспортной задачи (ТЗ) определим — множество дуг, входящих в вершину рР, множество , — совокупность дуг, выходящих из р. Теперь уравнения баланса (вместо (4)) приобретают вид:

(4')

Определим целевую функцию сетевой МТПЗ:

(7")

Задача (1-7) и все представленные ее варианты содержат в себе как транспортные, так и производственные блоки, которые представляют собой самостоятельные оптимизационные задачи.

Сложность алгоритма решения принципиально не зависит от выбора вида сетевых или матричных вспомогательных транспортных задач. Совместное исследование этих задач на практике приводит к сложной математической задаче с тысячами переменных и ограничений, поэтому решение МТПЗ непосредственным применением классических методов решения оптимизационных задач весьма затруднительно.

Для упрощения решения данной задачи требуется найти определенную последовательность решения частных задач, которые, постепенно уточняясь, составят общее решение исходной задачи. Однако такой алгоритм требует определенного обоснования, доказательства его сходимости к оптимальному решению общей задачи.

Список литературы

1. Бакееев А.А., Гриценко В.И., Бажан Л.И., Попченко В.И. Экономико-математическое моделирование развития транспортных систем. Киев: Наукова думка, 1991.151 с.

2. Беленький А.С. Исследование операций в транспортных системах: идеи и схемы методов оптимизации планирования. М.: Мир, 1992.582 с.

3. Вулис В.И., Шерман Ю.С. Метод декомпозиции для решения больших задач транспортного типа // Экономинка и мат. методы. Т. ХХI. Вып.2. М., 1985.С. 304-314.