ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ ЗАДАЧ ХРАНЕНИЯ И ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ

Драница Ю.П., Драница А.Ю., Алексеевская О.В.

 

Аннотация.        В работе рассмотрено применения линейной модели для хране­ния и передачи данных. Предложенный подход основан на оригинальных работах авторов.

Abstract.    In operation surveyed applications of linear model for storage and data transfer. The offered approach is grounded on original operations of the writers.

Ключевые слова: Обыкновенные линейные дифференциальные уравнения, обратные задачи, некорректно поставленные задачи, хранение и передача дан­ных.

Keywords: ordinary linear  differential equation, opposite tasks, ill-posed tasks, the storage and data transfer.

Введение

         Рассмотрим линейную систему (ЛС), на вход которой воздействует сиг­нал f(t) и описываемую обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) с постоянными коэффициентами l-ого порядка

          ,                                                          (1)

где x(n)(t) - производная n-ого порядка выходного сигнала ЛС; t - параметр типа времени, или другой упорядоченной переменной.

         В технических приложениях ЛС часто описывают с помощью импульс­ной переходной характеристики (ИПХ)  h(t), которая представляет отклик ЛС на импульс Дирака [7]. Отметим, что описание ЛС в рамках ОДУ или ИПХ яв­ляются эквивалентными, т.к.  ИПХ - суть частное решение неоднородного ОДУ. Знание ОДУ ЛС позволяет построить ее ИПХ и, наоборот, по ИПХ можно восстановить ОДУ [7].          Частным решением неоднородного ОДУ (1) является интеграл

         s(t)=x(t)+n(t)=,                                              (2)                 

где  λ – переменная интегрирования типа времени; n(t) – ошибки измерений и моделирования; x(t), s(t) –  соответственно идеальный выходной сигнал ЛС и измеренные данные.

         Если подынтегральные функций уравнения  известны, или могут быть оце­нены, то соотношение (2) называется интегралом (или уравнением) свертки, а реализуемая уравнением операция - сверткой. Задачи, использующие интеграл свертки, в приложениях принято называть прямыми.

         Если неизвестной являются одна из подынтегральных функций, то соотношение (2) относится к классу интегральных уравнений Вольтера пер­вого рода [6], с интегральным ядром h(t-l). В приложениях задачи подобного рода принято относить к классу обратных постановок, которые мы, в основном, и будем рассматривать. Известно [1, 6, 8], что эта обратная задача является не­корректно поставленной, другими словами, получаемые решения являются неустойчивыми и неоднозначными.

         При наличии помех в данных классические способы стабилизации реше­ния предполагают его оценку только в среднем [1, 6]. Самым существенным недос­татком такой оценки является потеря разрешающей способности получаемых решений. Особенно критично сглаживание в тех случаях, когда на вход ЛС подается сигнал, по статистике близкий к белому шуму - случай наиболее типичный,  например, для задач сейсморазведки.

          В работах [2-4] нами предложен и разработан принципиально новый подход и математический аппарат к описанию и интерпретации ЛС и процессов, который переводит обратную линейную задачу в класс корректных поста­новок и повышает разрешающую способность решений на 1-2 порядка, а прак­тически до частоты дискретизации, т.е. частоты Найквиста.          В публикации [5] выполнено теоретическое обоснование предложенного подхода.

         Настоящая работа посвящена приложению разработанного метода для ре­шения задач хранения и передачи информации. Для оценки устойчивости и разрешения получаемых решений выполнено необходимое моделирование.

         2. Постановка и решение задачи хранения и передачи данных на основе линейной модели

         Первые обнадеживающие результаты по решению обратных и некор­ректно поставленных задач получены нами еще в 2001 г. Проделанная работа пред­назначалась, в первую очередь, для задач сейсмической разведки.

         Однако разработанная нами теория является универсальной и может использоваться для многих приложений, в частности, для: сейсмической раз­ведки, гидро и радио локации, томографии, оптической и электронной микро­скопии, ультразвуковой и рентгеновской дефектоскопии материалов, а также при медицинских, гидрометеорологических, экономических исследованиях и других.

         При этом единственным требованием применения методики является линейность анализируемых процессов. Обоснование того, что действительно некоторые из перечисленных выше задач являются линейными, основано на том, что принципы линейности хорошо выполняются для многих сложных природных процессов. Например,  распространение звуковых, оптических и радио волн малой интенсивности в различных средах с хорошим приближением можно представить линейными процессами.

         Очевидно, что увеличение на порядки разрешающей способности методов обработки, позволяют вывести эти приложения на принципиально новый уровень.          Проведенные нами исследования показывают, что окружающий мир содержит гораздо больше информации, чем можно идентифицировать традиционными методами интерпретации. Разработанный нами подход позволяет существенно расширить возможности интерпретации, некоторые иллюстрирующие это примеры и причины низкого разрешения классических методов излагаются в [3, 4]. 

         С позиций разработанной теории, любые интерпретируемые данные рассматриваются как выход некоторой абстрактной ЛС, которая, в свою очередь,  описывается ОДУ (или системой ОДУ).  Это ОДУ содержит информацию как о связи последовательности точек между собой, так и индивидуальные данные о каждой точке кривой в отдельности, что и является причиной высокого разрешения модели. Способ оценки коэффициентов этого ОДУ, а также оценки его неоднородной составляющей и является основой разработан­ной методики. 

         Рассмотренные выше случаи применения методики опираются на линейность, которая является естественным следствием протекающих процессов. Однако необходимую линейность данных можно организовать искусственно, например, при передаче и хранении информации.

         Допустим, что имеется некоторая дискретная последовательность нулей и единиц f(kΔt), где k - k-ый отсчет данных; Δt - период дискретизации последовательности. Эти  цифровые данные, предназначены для последующей передачи по каналам связи, либо для хранения на технических носителях.

         Подадим эти данные на вход ЛС с ИПХ h(t). В результате, согласно уравнению (2), выходной сигнал ЛС s(t) будет подчиняться линейным соотношениям. С формальной точки зрения указанная процедура является решением прямой задачи, или шифрованием данных.

         Согласно теореме о свертке [1], преобразование Фурье соотношения (2) будет иметь вид:

                   S(ω)=X(ω)+N(ω)=F(ω)H(ω),                                                           (3)

где X(ω), N(ω) - соответственно Фурье преобразование данных без шума (идеального выхода) ЛС и различного рода погрешностей; F(ω), H(ω)  - соответственно Фурье преобразование цифровой последовательности и ИПХ ЛС.

         Спектр погрешностей N(ω) обычно близок к белому шуму, т.е. в идеале имеет постоянную мощность на всех частотах. Относительно спектра  F(ω)   цифровой последовательности можно предположить, что он будет широкополосным. Действительно, функция f(t) представляет чередование нулей и единиц, т.е. являться многократно разрывной функцией, что и будет порождать ее широкополостность. 

         Вид функция h(t) полностью определяется разработчиком, поэтому ее спектр  H(ω) может быть предопределен в зависимости от практических потребностей. Спроектируем функцию h(t) таким образом, чтобы ее спектр был узкополосным и сдвинутым в сторону низких частот. Из анализа  соотношений (2) и (3), приходим к выводу, что “измеряемый” сигнал будет узкополосным, сдвинутым в сторону низких частот  и на эти данные наложен белый шум, порожденный разного рода ошибками.

         Очевидно, что с технических позиций реализация проце­дуры шифрования не вызывает каких-либо принципиальных затруднений. Проблемы возникают при решении обратной задачи, т.е. при дешифровании данных. Действительно,  при обратном переходе неизбежны  вычислительные ошибки, ошибки, связанные с дискретизацией и квантованием данных при шифровании и т.д. Вся эта нестабильность выражена в левой части уравнения (2) слагаемым n(t). В результате этих факторов обратное решение уравнения (2) становится неустойчивым и неоднозначным. Выход представляется в применение к данной задаче разработанной нами методики, которая ликвидирует некорректную постановку.

         Из приведенной выше схемы формирования и передачи данных следует, что скорость передачи информации, лимитируется только темпом дискретиза­ции полезной информации. Другими словами, с позиций классического подхода своеобразным модулятором является процедура дискретизации, которая и опреде­ляет пропускную способность канала связи.

         Из этого, в частности, следует: 1. сигнал произвольно низкой частоты может содержать сколь угодно много полезной информации; 2. возможна дешифрация этого сигнала, т.е. извлечение полезной информации; 3. полоса пропускания передающего канала может быть достаточно узкой.

         3. Экспериментальная оценка предложенного подхода

         Для оценки устойчивости и помехозащищенности решаемой задачи был выполнен большой объем моделирования, которое заключалось в следующем. Формировались бинарные последовательности f(kΔt),  которые подавались на вход алгоритмически смоделированной ЛС. Для моделирования формы ИПХ  h(t) использовались результаты работ [3, 4]. Длины бинарной последовательности f(kΔt) и ИПХ h(t) представляли блоки из 256 отсчетов данных.

         Согласно правой части уравнения (2), последовательности свертывались и на результат накладывался белый шум различной мощности, который моделировал функцию n(t) уравнения (2). Выходные данные ЛС s(t), т.е.  левая часть уравнения (2) и представляли “измеренные” (шифрованные) данные, т.е. решение прямой задачи. Для характеристики уровня помех использовалось отношение сигнал/помеха в децибелах (дБ) в виде следующего выражения

                   m=10Lg(Df/Dn) дБ,                                                                           

где Lg - десятичный логарифм, Df, Dn - соответственно дисперсия последова­тельностей f(kΔt) и n(t). Полученные данные затем подавались на блок дешифрования, алгоритм которого был спроектирован согласно разработанной методике, т.е. решалась обратная задача.          

         В результате проведенных экспериментов получены следующие резуль­таты. При малом уровне помех, т.е. при малости функции n(t), цифровая после­довательность  f(kΔt) восстанавливается полностью. При отношении сигнал/помеха m1»15дБ появлялась одна ошибка восстановления, т.е. некоторый нуль бинарной последовательности замещался на единицу (и наоборот). При уменьшении отношение сигнал/помеха до m2»14.7дБ появлялось две ошибки восстановления, три ошибки - при m3»14.5дБ и т.д.

        

Заключение

         Теоретические и экспериментальные исследования соотношения (2) показывают, что свертка, за счет свойств сглаживания, позволяет преобразовать произвольные высокочастотные последовательности (вход ЛС) в низкочастотные временные ряды (выход ЛС). Разработана теория решения обратных задач, позволяющая полностью восстанавливать входные данные по выходному сигналу ЛС при умеренном отношении сигнал/помеха.

         Разработанные решения позволяют рассматривать задачу передачи и хранения информации с принципиально других позиций, по сравнению с  принятыми в радиотехнике. Эти новые принципы, на наш взгляд, позволят, например, поставить и решить задачу перехода телевидения, сотовой связи на низкочастотное вещание без потери качества пе­редаваемой и принимаемой информации и плотности заполнения приемо-передающими станциями частотного диапазона не хуже, чем при УКВ вещании.

 

Литература

1. Вапник В.Н., Глазкова Т.Г. и др. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей.  М.: Наука, 1984.

                       2. Драница Ю.П. Моделирование одномерных динамических процессов с целью предварительной обработки результатов. //Вестник МГТУ. Тр. Мурм. гос. технич. ун-та. том 4, N 1, 2001.

3. Драница Ю.П., Драница А.Ю. Некоторые аспекты интерпретации экспери­ментальных данных на основе теории линейных динамических систем. // Вест­ник МГТУ. Тр. Мурм. гос. технич. ун-та. Т.12, № 1, 2009.

\                   4. Драница Ю.П., Драница А.Ю. Некоторые постановки задач интерпретации вре­менных последовательностей на основе линейного моделирования. //Электронный журнал  "Дифференциальные уравнения и процессы управле­ния",  № 4, 2009.

                       5. Драница Ю.П., Драница А.Ю., Алексеевская О.В. О связи непрерывной и дискретных моделей для линейных динамических систем. //Электронный жур­нал  "Дифференциальные уравнения и процессы управления",  № 3, 2010.

6. Калиткин Н.Н. Численные методы.  М.: Наука, 1978.

7. Краус М., Вошни Э. Измерительные информационные системы. М.: Мир, 1975.

                        8. Теребиж В.Ю. Введение в статистическую теорию обратных задач. М.,    Физматлит, 376.