Шилинец В. А., Борис Т. И., Подполухо Е. В.

Белорусский государственный педагогический университет

МОНОГЕННОСТЬ В СМЫСЛЕ В.С. ФЕДОРОВА И ОБОБЩЕНИЕ БИГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Пусть , – однозначные функции класса для некоторой односвязной области плоскости .

Через обозначим класс действительных или комплексных функций от независимых переменных , имеющих в области непрерывные частные производные до порядка включительно. При имеем класс всех непрерывных в области функций.

Полагаем ( , и аналогично для всех рассматриваемых функций). Будем всегда считать, что в области существует .

При этих условиях формальными производными и какой-нибудь функции класса называются такие функции от и , которые в области определяются следующим образом [1]:

, . (1)

Далее заметим, что если в области имеем , то это свидетельствует о том, что функция является моногенной в смысле
В.С. Федорова (F-моногенной) относительно функции в области [1, 2].

Пусть . Тогда можно определить формальные производные второго порядка :

, ,

, .

Отметим, что в области [1].

В работе [1] В.А. Гусевым было исследовано уравнение , где ; – искомая функция класса ; – известные функции того же класса.

Предметом исследования в данной работе является дифференциальное уравнение в формальных производных

, (2)

где ; показатель 2 свидетельствует о том, что оператор используется последовательно два раза, т. е. ; – известные (искомая) функции класса .

Рассмотрим бикомплексные функции , , (, ) [3]. Будем использовать далее следующие обозначения: , .

Тогда из равенств (1), определяющих формальные производные, имеем

, ,

откуда следует , . Поэтому имеем

.

Таким образом, уравнение (2) равносильно уравнению

, которое, очевидно, можно записать в следующем виде:

. (3)

Проинтегрируем сначала уравнение вида

, (4)

где [1].

Лемма 1. Выражение будет полным дифференциалом (по переменным ) в области тогда и только тогда, когда , .

Лемма 2. Пусть , , , (,). Бикомплексная функция будет моногенной в смысле В.С. Федорова в области по бикомплексной функции тогда и только тогда, когда в рассматриваемой области

, . (5)

Теорема 1. Если – любая бикомплексная функция, моногенная по бикомплексной функции в односвязной области плоскости , то функция является решением дифференциального уравнения (4).

Перейдем сейчас к интегрированию дифференциального уравнения в формальных производных (3).

Полагаем

, (6)

тогда уравнение (3) примет следующий вид:

. (7)

Используя теорему 1, получаем, что функция является решением уравнения (7), где – произвольная моногенная в смысле В.С. Федорова по функции в области функция.

Легко убедиться в том, что если функция является
F-моногенной по функции в области , то в этой области функция будет F-моногенной по функции .

Таким образом, решение дифференциального уравнения (7) имеет следующий вид:

, (8)

где – произвольная моногенная в смысле В.С. Федорова в области относительно функции бикомплексная функция.

Из равенств (6) и (8) получаем

. (9)

Построим, как и в работе [2], функцию , где – фиксированная точка области , – текущая точка этой же области. При этом имеем, что () – моногенная по функции () в области функция, , где – производная в смысле В.С. Федорова функции по функции .

Тогда, на основании равенства (9), получаем

,

откуда

где , – бикомплексные функции, моногенные по бикомплексной функции в области .

Из последнего равенства следует, что .

Таким образом, получили теорему.

Теорема 2. Решение дифференциального уравнения в формальных производных (2) имеет следующий вид:

,

где , – бикомплексные функции, моногенные по бикомплексной функции в области .

Отметим, что последняя формула является аналогом формулы Гурса для бигармонических функций, которая выражает любую бигармоническую функцию через две аналитические функции комплексной переменной [4].

Литература:

1. Гусев В.А. Об одном обобщении ареолярных производных // Bul. stiint. al Instit. politehnic Timisoara, 1962.– Т. 7, f. 2.– P. 223-238.

2. Федоров В.С. Основные свойства обобщённых моногенных функций // Известия вузов. Математика, 1958. – № 6. – С. 257-265.

3. Стельмашук Н.Т. О некоторых линейных дифференциальных уравнениях в частных производных в дуальной и бикомплексной алгебрах // Известия вузов. Математика, 1964.–№ 3.– С. 136-142.

4. Смирнов В.И. Курс высшей математики.– М.:ГИТТЛ, 1953.– Т. 3.– Ч. 2.– С. 193-196.