Шилинец В.
А., Борис Т. И., Подполухо Е. В.
Белорусский
государственный педагогический университет
МОНОГЕННОСТЬ В СМЫСЛЕ В.С. ФЕДОРОВА И ОБОБЩЕНИЕ БИГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Пусть ,
– однозначные функции класса
для некоторой
односвязной области
плоскости
.
Через обозначим
класс действительных или комплексных функций от независимых переменных
, имеющих в области
непрерывные
частные производные до порядка
включительно.
При
имеем
класс всех непрерывных в области
функций.
Полагаем (
,
и аналогично для всех
рассматриваемых функций). Будем всегда считать, что в области
существует
.
При этих условиях формальными производными и
какой-нибудь
функции
класса
называются такие
функции от
и
, которые в области
определяются
следующим образом [1]:
,
. (1)
Далее заметим, что если в области имеем
, то это свидетельствует о том, что функция
является моногенной в
смысле
В.С. Федорова (F-моногенной)
относительно функции в области
[1, 2].
Пусть . Тогда можно определить формальные производные второго
порядка
:
,
,
,
.
Отметим, что в области
[1].
В работе [1] В.А. Гусевым было исследовано уравнение , где
;
– искомая
функция класса
;
– известные функции
того же класса.
Предметом исследования в данной работе является
дифференциальное уравнение в формальных производных
, (2)
где ; показатель 2 свидетельствует о том, что оператор
используется
последовательно два раза, т. е.
;
– известные
(искомая) функции класса
.
Рассмотрим бикомплексные функции ,
,
(
,
) [3]. Будем использовать
далее следующие обозначения:
,
.
Тогда
из равенств (1), определяющих формальные производные, имеем
,
,
откуда следует ,
. Поэтому имеем
.
Таким
образом, уравнение (2) равносильно уравнению
, которое, очевидно, можно записать в следующем виде:
. (3)
Проинтегрируем сначала уравнение вида
, (4)
где [1].
Лемма 1. Выражение будет полным
дифференциалом (по переменным
) в области
тогда и только тогда,
когда
,
.
Лемма 2. Пусть ,
,
, (
,
). Бикомплексная функция
будет моногенной в
смысле В.С. Федорова в области
по бикомплексной
функции
тогда и только тогда,
когда в рассматриваемой области
,
. (5)
Теорема 1. Если – любая бикомплексная
функция, моногенная по бикомплексной функции
в односвязной области
плоскости
, то функция
является решением
дифференциального уравнения (4).
Перейдем
сейчас к интегрированию дифференциального уравнения в формальных производных
(3).
Полагаем
, (6)
тогда
уравнение (3) примет следующий вид:
. (7)
Используя теорему 1, получаем, что
функция является решением
уравнения (7), где
– произвольная
моногенная в смысле В.С. Федорова по функции
в области
функция.
Легко
убедиться в том, что если функция является
F-моногенной по функции в области
, то в этой области функция
будет F-моногенной по функции
.
Таким
образом, решение дифференциального уравнения (7) имеет следующий вид:
,
(8)
где – произвольная
моногенная в смысле В.С. Федорова в области
относительно функции
бикомплексная функция.
Из
равенств (6) и (8) получаем
. (9)
Построим, как и в работе [2], функцию
, где
– фиксированная точка
области
,
– текущая точка этой
же области. При этом имеем, что
(
) – моногенная по функции
(
) в области
функция,
, где
– производная в
смысле В.С. Федорова функции
по функции
.
Тогда,
на основании равенства (9), получаем
,
откуда
где ,
– бикомплексные
функции, моногенные по бикомплексной функции
в области
.
Из
последнего равенства следует, что .
Таким
образом, получили теорему.
Теорема 2. Решение дифференциального
уравнения в формальных производных (2) имеет следующий вид:
,
где ,
– бикомплексные
функции, моногенные по бикомплексной функции
в области
.
Отметим,
что последняя формула является аналогом формулы Гурса для бигармонических
функций, которая выражает любую бигармоническую функцию через две аналитические
функции комплексной переменной [4].
1.
Гусев В.А. Об одном обобщении ареолярных производных // Bul. stiint. al Instit. politehnic Timisoara, 1962.– Т. 7, f. 2.– P. 223-238.
2.
Федоров В.С. Основные
свойства обобщённых моногенных функций // Известия вузов. Математика, 1958. – №
6. – С. 257-265.
3.
Стельмашук Н.Т. О
некоторых линейных дифференциальных уравнениях в частных производных в дуальной
и бикомплексной алгебрах // Известия вузов. Математика, 1964.–№ 3.– С. 136-142.
4.
Смирнов В.И. Курс высшей математики.– М.:ГИТТЛ, 1953.– Т. 3.– Ч. 2.– С.
193-196.