А.Ж.Монашова
Евразийский национальный университет им. Л.Н.
Гумилёва, Астана
О СПЕКТРЕ СИНГУЛЯРНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ПОРОЖДАЕМЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ВЫРАЖЕНИЕМ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
Пусть ,
и
- неотрицательные локально суммируемые в интервале
функции.
Рассмотрим
дифференциальное выражение
,
(1)
Целью данной работы
является оценка асимптотик операторов,
порожденных дифференциальным
выражением (1). Данная задача
была поставлена М. Отелбаевым в работе [1].
На классе финитных
бесконечно дифференцируемых в Ω функций:
,
где
, (2)
(3)
Пусть - замыкание класса
по норме
.
Всюду ниже будем предполагать,
что почти всюду в
и что функция
локально суммируема в
. Обозначим через
самосопряженный оператор, порождающий замкнутую форму
.
Пусть - оператор,
ассоциированный с формой
. Будем считать, что форма
определена на
множестве
всех
, имеющих в
абсолютно непрерывную производную
и таких, что
Пусть ,
,
(
только для
).
Положим , где инфимум берется по всем
с мерой
. Заметим, что
для достаточно малых
и в силу этого для
любого
.
Пару на
будем называть допустимой, если выполнены условия:
1)
2) .
Введем следующую запись для
допустимой пары :
.
Пусть
.
Обозначим через множество всех
интервалов
,
, т.е.
.
Все последующие утверждения
формулируются в терминах следующих функций:
,
где ,
- локально суммируемая в
функция.
Под спектром
неотрицательной
формы понимается спектр
оператора, порождающего данную
форму. См. [3,6.1].
По определению, форма компактна относительно
, если
и из множества
можно выделить подпоследовательность
такую, что
при
.
Ниже запись следует понимать, как одновременное
выполнение условий:
,
.
Теорема 1. Пусть . Допустим, что
и выполнены условия:
1)
2)
.
Тогда оператор имеет дискретный
спектр и справедлива оценка:
,
где не зависит от функций
и
.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1
и пусть к тому же удовлетворяет условию
(3). Тогда для оператора
справедлива оценка
,
где .
Теорема 3. Пусть
и выполнены условия
теоремы 1 относительно функций
. Тогда оператор
имеет дискретный
спектр и справедливы оценки:
при
,
при
,
где не зависит от функций
,
.
Список
литературы:
[1] Отелбаев М., Кусаинова
Л.К. Оценки спектра
одного класса дифференциальных операторов// Труды
института математики НАН Украины.
Научный журнал.-2009.-Т6.-N1-С.165-190.
[2]
Рамм А. Г. О собственных числах некоторых интегральных операторов. Л.:
Ленинградский институт точной механики и оптики.-1974.-С.932-934.
[3]
Мынбаев К. Т.,
Отелбаев М. О.
Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных
операторов.М.:Наука.-1988.
[4]
Кусаинова Л. К.
Теоремы вложения и
интерполяции весовых пространств
Соболева.- Алматы.- Докторская диссертация. 1999.-Библиотека Института
математики НАН РК.
[5]
Айтенова М. С.,
Кусаинова Л. К.
Об асимптотике распределения аппроксимативных чисел
вложений весовых классов
Соболева.I.-Алма-Аты. Математический журнал. T.2., N2.-2009.- C .7-14.