А.Ж.Монашова

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилёва, Астана

О СПЕКТРЕ СИНГУЛЯРНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ПОРОЖДАЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ВЫРАЖЕНИЕМ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Пусть , и - неотрицательные локально суммируемые в интервале функции.

Рассмотрим дифференциальное выражение

, (1)

Целью данной работы является оценка асимптотик операторов, порожденных дифференциальным выражением (1). Данная задача была поставлена М. Отелбаевым в работе [1].

На классе финитных бесконечно дифференцируемых в Ω функций:

,

где

, (2)

(3)

Пусть - замыкание класса по норме

.

Всюду ниже будем предполагать, что почти всюду в и что функция локально суммируема в . Обозначим через самосопряженный оператор, порождающий замкнутую форму

.

Пусть - оператор, ассоциированный с формой . Будем считать, что форма определена на множестве всех , имеющих в абсолютно непрерывную производную и таких, что

Пусть , , ( только для ).

Положим , где инфимум берется по всем с мерой . Заметим, что для достаточно малых и в силу этого для любого

.

Пару на будем называть допустимой, если выполнены условия:

1)

2) .

Введем следующую запись для допустимой пары :

.

Пусть

.

Обозначим через множество всех интервалов , , т.е.

.

Все последующие утверждения формулируются в терминах следующих функций:

,

где , - локально суммируемая в функция.

Под спектром неотрицательной формы понимается спектр оператора, порождающего данную форму. См. [3,6.1].

По определению, форма компактна относительно , если и из множества можно выделить подпоследовательность такую, что

при .

Ниже запись следует понимать, как одновременное выполнение условий: , .

Теорема 1. Пусть . Допустим, что и выполнены условия:

1)

2) .

Тогда оператор имеет дискретный спектр и справедлива оценка:

,

где не зависит от функций и .

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и пусть к тому же удовлетворяет условию (3). Тогда для оператора справедлива оценка

,

где .

Теорема 3. Пусть и выполнены условия теоремы 1 относительно функций . Тогда оператор имеет дискретный спектр и справедливы оценки:

при ,

при ,

где не зависит от функций , .

Список литературы:

[1] Отелбаев М., Кусаинова Л.К. Оценки спектра одного класса дифференциальных операторов// Труды института математики НАН Украины. Научный журнал.-2009.-Т6.-N1-С.165-190.

[2] Рамм А. Г. О собственных числах некоторых интегральных операторов. Л.: Ленинградский институт точной механики и оптики.-1974.-С.932-934.

[3] Мынбаев К. Т., Отелбаев М. О. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов.М.:Наука.-1988.

[4] Кусаинова Л. К. Теоремы вложения и интерполяции весовых пространств Соболева.- Алматы.- Докторская диссертация. 1999.-Библиотека Института математики НАН РК.

[5] Айтенова М. С., Кусаинова Л. К. Об асимптотике распределения аппроксимативных чисел вложений весовых классов Соболева.I.-Алма-Аты. Математический журнал. T.2., N2.-2009.- C .7-14.