Численное исследование
задач с переменными внутренними границами
Онишкова Анастасия
Михайловна
Южный Федеральный
Университет
ВВЕДЕНИЕ
Математические модели многих физических процессов и явлений
приводят к краевым задачам математической физики, содержащим заранее
неизвестные поверхности, подлежащие определению в ходе решения задачи. Теория
таких задач в значительной степени развита. [1-3] Идея решения состоит в
определении экстремального или стационарного решения соответствующего
функционала. Особенностью данного класса задач является то, что при
варьировании нужно рассматривать не только неизвестные функции, но и положение
неизвестной границы. Таким образом, математическая задача состоит в том, чтобы
найти такие 
, где u - некоторые функции из определенного
пространства H, а Г – положение неизвестной границы. В данной работе
предложен некоторый численный алгоритм для решения задач с неизвестными
границами с использованием генетического алгоритма.
Генетический алгоритм - это метод решения задач оптимизации
на основе естественного отбора, аналогично тому, как это происходит в процессе
биологической эволюции.
Идея метода состоит в следующем.
Предположим, что нам известно какое-то положение 
. Тогда, решая задачу поиска u 
,
можно найти 
, соответствующей 
. Подставляя 
в I,
получим функционал, зависящий только от Г: 
.
Далее решаем задачу поиска минимума 
: 
.
Шаги алгоритма можно условно представить следующим образом:
1)
Задается
начальное положение границы: Г0.
2)
Находится
соответствующее решение u0.
3)
Вычисляется
.
4)
Выверяется
следующее приближение Гn.
5)
Находится
решение 
.
6)
Вычисляется
.
7)
Проверяется
условие сходимости.
Ключевыми вопросами являются:
а) выбор следующей итерации Г;
б) выбор условия сходимости минимизационной
последовательности In.
В работе рассмотрен пример реализации данного метода к
двумерным задачам (Г задается линией на плоскости). Показано, что предложенный
алгоритм позволяет найти решение, т.е. как неизвестную функцию, так и положение
границы.
Постановка задачи
В прямоугольной области,
где задано уравнение k±∆u=f, где 
и условия Дирихле на границе, необходимо
определить 
положение неизвестной
границы Г, на которой заданы условия согласования 
. Граница Г находится из условий минимума некоторого
функционала
Задача решается с помощью метода сеток. Минимум функционала
определяется с использованием
генетического алгоритма.
Тестовый пример
Рассмотрим решение
модельной задачи для эллиптического уравнения
Известно точное решение
.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3 Рис. 4
Решение
на границе области (i=1) 0.03197. Точное решение minFI = 0.0333. Т.о., погрешность тоже можно
считать хорошей.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Для двумерных задач со свободной (заранее неизвестной)
границей разработан численные алгоритм, позволяющие найти ее положение, которое
определяется из условия минимальности соответствующего функционала.
ЛИТЕРАТУРА
1. Gibbs J.W. Scientific Papers. V. 1. Thermodynamics.
N.Y. etc. Dover,1906
= Гиббс Дж. Термодинамика. Статистическая механика. – М.:Наука, 1982, 584с. 2. James R.D. Finite deformation by mechanical twinning
// Arch. Rat. Mech.
Anal. 1981. V. 77. P.
143-177. 3. Осмоловский В.Г. Вариационная задача о фазовых переходах в механике
сплошной среды. – СПб: Изд-во СПб ун-та, 2000, 262с.
4. Бахвалов Н.С.
Численные методы. –М.:Наука, 1985. 5. Конюшенко В.В., Matlab. Начало работы с Matlab.