Физика.Теоретическая физика.

К.К. Сагинбаева, К.А. Омаркулов

Кокшетауский государственный университет им. Ш. Уалиханова, Казахстан

Об интегрируемости нестационарного уравнения Гамильтона-Якоби

Современные наблюдательные данные астрономии свидетельствуют о нестационарности космических систем, связанной с изменением масс, и других характеристик тел систем со временем. Актуальность исследования задач небесной механики, в которых учитываются различные факторы нестационарности, проистекает как из логики самой проблемы так и, в частности, выяснения возможного векового изменения гравитационной постоянной.

Общего метода нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби не существует, но существуют частные способы интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби. Поэтому проблема интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби остается актуальной в механике.

Метод Гамильтона-Якоби является одним из наиболее мощных методов интегрирования систем канонических уравнений, и в настоящее время достигнуты значительные успехи в применении метода Гамильтона-Якоби к решению задач механики голономных систем, проблема интегрирования методом Гамильтона-Якоби занимает одно из центральных мест в небесной механике и к настоящему времени получила большое развитие. Метод Гамильтона-Якоби в значительной степени упрощает исследования нестационарных систем и вызывает в последнее время большой интерес исследователей.

Появилась возможность использовать результаты интегрирования классической задачи двух неподвижных центров для изучения движения материальной точки в гравитационном поле, близком к гравитационному полю Земли, или Луны, причем было отмечено, что возможно такая постановка задачи, в которой, дифференциальные уравнения могут быть проинтегрированы в квадратурах.

Ниже рассмотрим один класс динамическмх систем, для которых можно указать полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби. Приводимая теорема обобщает результат М.С. Яров-Ярового [1] и включает случай интегрируемости В.Г. Демина [2] применительно к нестационарным системам.

Теорема: Пусть имеется n² произвольных функций для которых определитель не равен тождественно нулю, и (2n+1) произвольные функции обобщенных координат U_i(q₁,q₂, …, q_n), a_i (q₁, q₂, …, q_n), Ф(q₁, q₂, …, q_n) и времени

Тогда, если гамильтониан нестационарной системы определяется формулой

То для соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби полный интеграл имеет вид

где произвольные постоянные.

Доказательство: Решение соответсвующего уравнения после всех преобразований приводит к виду

Интегрируя (12) приходим к выражению (3) и теорема доказана.

Если в гамильтониане (1) , то придем к теореме В.Г. Демина [2].

Результаты наблюдений с помощью искусственных спутников Земли и космических аппаратов дают возможность получить высокочастотную астрономо-геодезическую информацию по структуре внешнего гравитационного поля Земли, по уточнению размеров и формы Земли. В связи с этим является актуальной постановка и разработка задач небесной механики, учитывающих изменения со временем некоторых физических параметров Земли. Причиной тому является динамическая эволюция Земли, сопровождаемая глобальными вековыми изменениями динамических характеристик Земли. К примеру, тех, которые описывают распределение масс внутри Земли, его форму и размеры.

1. Яров-Яровой М.С. Об интегрировании уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных // ПММ, 1963, Т.27.С.973-987.

2. Демин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. М. Наука, 1968. 352 с.

3. Омаркулов К.А. Диссертация КазГУ, 1985.