Д.т.н., профессор Воронин С.М.
ФБГОУ ВПО "Азово-Черноморская
государственная агроинженерная
академия", Россия
Уточнение формулировки закона Архимеда
Настоящая статья не содержит неизвестных ранее физических явлений, связанных с действием архимедовой силы, а имеет целью уточнить некоторые положения многочисленных формулировок закона Архимеда, что должно положительно отразиться на его понимании при обучении в различных учебных заведениях.
Закон Архимеда в настоящее время имеет несколько формулировок и относится к статической жидкости. Например, формулировка, которая содержится в современных учебниках физики, звучит так: "На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости в объеме погруженного тела, и направленная вертикально вверх" (аналогично закон формулируется и для газов). В этой формулировке выделены слова, которые далее будут уточнены. Другие формулировки, например, "Тело, погруженное в жидкость, теряет в весе столько, сколько весит вытесненная жидкость" некорректны, так как вес – это сила, с которой тело притягивается к Земле, и которая не меняется (то есть, не уменьшается) при погружении тела в жидкость.
Данные формулировки при кажущейся простоте приводят к неправильному определению архимедовой силы, как по величине, так и по направлению. Продемонстрируем некорректность существующих формулировок на опыте.
Опыт №1
Возьмем однородное тело с плотностью ρТ меньшей плотности жидкости. Опустим тело с абсолютно гладким дном на абсолютно гладкое дно сосуда. при этом объем сосуда пусть будет достаточно большим по сравнению с объемом тела, так что в него можно налить достаточное количество жидкости для заполнения объема погруженного тела. Если тело плотно прилегает к дну сосуда, то даже после того, как мы нальем в сосуд жидкость вплоть до уровня выше опущенного тела, тело не всплывет. При этом ввиду большей плотности жидкости по сравнению с плотностью тела, вес жидкости в погруженном объеме больше веса тела. Следовательно, архимедова сила, определенная в соответствии с принятой формулировкой закона, должна вытолкнуть тело из жидкости. Так как этого не происходит, то та часть формулировки, которая определяет значение архимедовой силы, неточна.
Опыт №2.
Возьмем два сосуда одинаковой формы, причем второй сосуд будет меньше первого сосуда, так что может входить в него с малым зазором (рисунок 1).
Пусть масса второго сосуда будет m2. Нальем в первый сосуд воду массой mВ < m2. Вода будет иметь при этом нулевой уровень, то есть, уровень до погружения сосуда 2 в сосуд 1. Опустим второй сосуд в первый. Второй сосуд вытеснит часть воды, ее уровень поднимется до отметки h. Можно подобрать такие размеры сосудов и массу второго сосуда, что второй сосуд будет плавать в первом. Например, можно взять два химических стакана на 600 мл каждый, но первый диаметром 85 мм, а второй диаметром 80 мм. В первый стакан нальем 150 г воды, а во второй (погружаемый) 200 г воды. Таким образом, масса погружаемого стакана с водой а явно больше массы воды в первом стакане.
Рисунок 1 – Пояснение опыта №2
Так как второй сосуд плавает в первом, то по закону Архимеда в принятой редакции должно выполняться равенство:
(1)
Или
(2)
Здесь mВВ – масса вытесненной воды, кг;
g – ускорение свободного падения, м/с2.
Но масса вытесненной воды меньше массы плавающего сосуда, так как является только частью всей массы воды, уже меньшей массы плавающего сосуда. Следовательно, архимедова сила не равна весу фактически вытесненной телом жидкости (Строго говоря, формулировка закона не требует, чтобы для плавающего тела вес фактически вытесненной жидкости равнялся весу тела). Тем не менее, тело, в опыте №2, находится в равновесии, следовательно, равны между собой вес тела и архимедова сила.
Отметим, что в неограниченной емкости архимедова сила равнялась бы весу жидкости в объеме погруженной части тела, то есть, формулировка закона Архимеда верна, так как вес жидкости в объеме погруженной части тела равен весу погруженного тела. Однако опыт №2 опровергает эту формулировку.
Архимедова сила в опыте №2 (и во всех других случаях, не рассматриваемых здесь) равна силе давления воды на дно сосуда. Сила давления воды на дно сосуда равна давлению жидкости на уровне дна тела, умноженной на площадь дна:
(3)
где FА – архимедова сила в опыте №2, Н;
р – давление жидкости на глубине h, Па;
S – площадь дна сосуда, м2.
Выразив составляющие (3) через параметры сосудов и плотность жидкости, получим:
(4)
где ρ – плотность жидкости, кг/м3;
R – внутренний радиус большого сосуда, м;
r – наружный радиус малого (плавающего) сосуда, м.
Таким образом, архимедова сила равна не весу жидкости в объеме погруженной части тела, а силе давления жидкости на тело. Следует
отметить, что природу этой силы определили давно, но формулировку закона
Архимеда не уточняли. Это объясняется, видимо тем, что при неограниченном
объеме жидкости и омывании тела жидкостью, сила давления на тело равна весу вытесненной
жидкости. Действительно 
равно весу вытесненной телом жидкости, но только при
достаточной массе жидкости и если жидкость статическая. Если же система
"жидкость – тело" двигаются с ускорением, но тело и жидкость
относительно друг друга неподвижны, то давление и сила давления жидкости уже
будут определяться не только весом столба жидкости, но и другими силами.
Продемонстрируем это следующими опытами.
Опыт №3.
Наполним сосуд водой и поместим в него предмет легче воды (плавающий в воде). Раскрутим сосуд на нити в вертикальной плоскости так, чтобы вода из него под действием центробежной силы не выливалась. Рассмотрим, какие силы действуют на помещенное в воду тело в верхней точке траектории движения сосуда (рисунок 2).
На это тело действует сила его веса, центробежная сила и архимедова сила. В соответствии с принятой формулировкой, архимедова сила должна быть направлена вертикально вверх. В этом случае равнодействующая на погруженное тело сил в рассматриваемой точке должна была бы быть равна:
(5)
где R – равнодействующая сил, Н;
РА – архимедова сила, Н;
FЦБТ – центробежная сила, действующая на тело, Н;
РТ – вес тела, Н.
Рисунок 2 – Пояснение опыта №3
Так как тело не падает, то действующая на него центробежная сила не меньше его веса. Тогда из (5) следует, что, даже при равенстве центробежной силы и силы веса тела, равнодействующая сил равна архимедовой силе и не равна нулю, так как тело частично погружено в воду. В этом случае тело должно двигаться от центра к периферии, но этого не происходит. Следовательно, направление сил выбрано неверно. Точнее, приведенная формулировка закона Архимеда указывает неправильное направление архимедовой силы.
Для установления правильного направления векторов сил рассмотрим какие силы создают давление на погруженное тело.
Тело, погружаясь в жидкость в какой-либо покоящейся емкости ограниченного объема, выдавливает некоторую массу жидкости, поднимая ее на некоторый уровень. Потенциальная энергия выдавленной жидкости увеличивается, и она стремится произвести работу по преодолению выдавливающих ее сил, то есть, по преодолению веса тела. Так как вес тела направлен вертикально вниз, то сила со стороны воды направлена противоположно ему, то есть, вертикально вверх. Заметим, что при покоящейся емкости направление архимедовой силы соответствует формулировке закона Архимеда.
При вращении тела вместе с жидкостью, тело в верхней точке действует на воду, стремясь ее выдавить из занимаемого объема своей центробежной силой за вычетом собственного веса тела, то есть, переместить некоторую массу жидкости в направлении противоположном ее перемещению под действием центробежной силы, действующей на саму жидкость (рисунок 3).
РА – архимедова сила, FЦЖ – центробежная сила, действующая на вытесненную
массу жидкости, FЦТ – центробежная сила,
действующая на тело, РЖ – вес вытесненной жидкости, РТ –
вес тела.
Рисунок 3 – Силы, действующие на тело и вытесненную жидкость
в опыте №3
Архимедова сила действует противоположно этой силе и равна ей при условии, что тело не тонет, то есть, тело и жидкость находятся в равновесии. Если архимедова сила будет меньше выталкивающей силы, то тело будет двигаться по направлению к дну вращающегося сосуда, то есть, будет "тонуть". В обоих случаях архимедова сила будет равна силе, действующей на вытесненную массу жидкости, и направлена противоположно вытесняющей силе.
Таким образом, в соответствии с опытом №3, закон Архимеда применительно к жидкости должен иметь следующую формулировку: "На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная вектору силы давления жидкости на погруженную часть тела". Так как давление жидкости может быть обусловлено не только ее весом, направленным вертикально вниз, то и архимедова сила, равная силе давления, может быть направлена не только вертикально вверх. Для окончательного утверждения этой формулировки проведем еще один опыт.
Опыт №4.
В закрытый сосуд, наполненный магнитной жидкостью, поместим легкий
предмет с диамагнитными свойствами, например, пробку или теннисный шарик
(рисунок 4).
S – N – магнит, FЖ – сила магнитного поля на магнитную жидкость, FА – архимедова сила в магнитном поле.
Рисунок 4. Пояснения к опыту №4
Если магнитная жидкость находится вне магнитного поля, то погруженное тело под действием архимедовой силы займет верхнее положение в середине сосуда. Если же к сосуду с магнитной жидкостью поднести магнит, то на жидкость будет действовать сила магнитного поля, а сама жидкость будет давить на погруженное тело архимедовой силой, но направленной против силы магнитного поля (шарик переместится в противоположную сторону). То есть, архимедова сила и в этом случае будет равна вектору давления жидкости на тело.
С учетом продемонстрированных опытов предлагается следующая формулировка закона Архимеда: "На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная вектору силы давления жидкости на погруженную часть тела".