С. А. Оганисян

Государственный инженерный университет Армении

Применение теории качественной обратной связи в многомерных системах управления

В теории автоматического управления существуют методы, которые позволяют учитывать параметрические неопределенности в системах с обратной связью. Одним из таких методов является теория качественной обратной связи (КОС), предложенная И. Горовицем [1,2,3]. Теория КОС широко применяется в одномерных системах регулирования, но в многомерных системах автоматического регулирования (МСАР) использование этой теории к настоящему времени носит ограниченный характер. Для применения теории КОС к многомерным системам в работе предлагается воспользоваться методом характеристических передаточных функций (ХПФ) [4] .

Рассмотрим однотипную МСАР, матричная структурная схема которой представлена на рис. 1. В таких МСАР сепаратные каналы имеют одинаковые передаточные функции, а взаимные связи между каналами являются жесткими и характеризуются вещественной числовой матрицей. Однотипные МСАР широко распространены в различных технических приложениях, например, в аэрокосмической технике, химической промышленности и других.

Рис. 1 Обшая структурная схема однотипной МСАР

На рис. 1: , и - -мерные векторы входа, ошибки и выхода, - матрица жестких взаимных связей, - передаточная функция отдельных каналов.

Будем считать, что матрица неопределена, то есть

, (1)

где элементы матрицы .

Для применения класической теории КОС к МСАР воспользуемся методом ХПФ. Согласно этому методу, передаточную матрицу разомкнутой системы можно представить в виде

, (2)

где - собственные значения матрицы ; - соответствующие собственные векторы; - модальная матрица, составленная из векторов ; называются характеристическими передаточными функциями. С помощью ХПФ -мерная МСАР может быть представлена как совокупность независимых одномерных систем, к которым можно применить теорию КОС с использованием диаграмм Никольса.

Поясним применение теории на конкретном примере.

Пример. Рассмотрим двумерную однотипную МСАР, которая представлена на рис 2, где статический регулятор, передаточная функция имеет вид

, (3)

а матрица равна

. (4)

Углы и в матрице могут принимать значения в некоторых областях , : Зона неопределенности показана на рис. 3.

Ставится следующая задача: выбрать коэффициент регулятора так, чтобы система была устойчивой, а её показатель колебательности по отношению к вектору ошибки не превышал значение . Для решения задачи следует на диаграмме Никольса построить характеристический годограф разомкнутой системы, и запретные окружности для заданнного значения и граничных значений неопределенных параметров.

Рис. 2 Структурная схема двухмерной Рис.3 Зона неопределенности

однотипной МСАР

На рис. 4 на диаграмме Никольса построены годограф для (линия 1) и (линия 2), точки для углов и , соответствующих конечным точкам зоны неопределенности, и запретные зоны для (отбражения окружностей на плоскость диаграмм Никольса).

Рис. 4 Диаграмма Никольса

Для устойчивости системы необходимо, чтобы годограф не охватывал точки и находился вне зоны запретных окружностей.

Из рис. 4 видно, что система при неустойчива, а при - устойчива. Следовательно, при и заданной непределенности матрицы взаимных связей задача решена и система является устойчивой.

Рассмотренный подход применим к однотипным МСАР любой размерности.

Литература

1. Isaac Horowitz, Invited paper Survey of quantitative feedback theory (QFT), INT.J, CONTROL, 1991, vol. 53, No. 2, 255-291

2. Isaac M. Horowitz, Marcel Sidi, Synthesis of feedback systems with large plant ignorance for prescribed time-domain tolerances, INT. J. CONTROL, 1972, vol. 16, No.2,287-300

3. Constantine H. Houpis, Steven J. Rasmussen, Quantitative feedback theory: fundamentals and applications, 1999 by Marcel Dekker, Inc.

4. Гаспарян О. Н., Теория многосвязных систем автоматического регулирования, ГИУА, Изд.-во “Асогик”, Ереван, 2010.