Ткаченко Е.С.

Общеобразовательная школа І-ІІІ ступеней № 4 г Красноармейска, Украина

Дифференциальные уравнения как одно из средств математического решения практических задач.

Теория дифференциальных уравнений – один из важнейших разделов математики, имеющий огромное практическое значение. Одной из черт теории дифференциальных уравнений - ее тесная связь с приложениями. Дифференциальные уравнения используются во многих науках: механике, физике, различных разделах химии и даже в экономике. Дифференциальные уравнения достаточно просто и полно описывают производственные процессы.

Следующие примеры позволяют лучше понять, как различные задачи формулируются на языке дифференциальных уравнений.

1) Закон распада некоторых радиоактивных веществсостоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству этого вещества. Если x – количество вещества в некоторый момент времени t, то этот закон можно записать так: где dx/dt – скорость распада, а k – некоторая положительная постоянная, характеризующая данное вещество.

2) Емкость первоначально содержит 10 кг соли, растворенной в 100 м3 воды. Если чистая вода вливается в емкость со скоростью 1 м³ в минуту и равномерно перемешивается с раствором, а образовавшийся раствор вытекает из емкости с такой же скоростью, то сколько соли окажется в емкости в любой последующий момент времени? Если x – количество соли (в кг) в емкости в момент времени t, то в любой момент времени t в 1 м3 раствора в емкости содержится x/100 кг соли; поэтому количество соли убывает со скоростью x/100 кг/мин, или

3) Пусть на тело массы m, подвешенное к концу пружины, действует возвращающая сила, пропорциональная величине растяжения пружины. Пусть x – величина отклонения тела от положения равновесия. Тогда по второму закону Ньютона, который утверждает, что ускорение (вторая производная от x по времени, обозначаемая d²x/dt²) пропорционально силе:

Правая часть стоит со знаком минус потому, что возвращающая сила уменьшает растяжение пружины.

4) Закон охлаждения тел утверждает, что количество тепла в теле убывает пропорционально разности температур тела и окружающей среды. Если чашка кофе, разогретого до температуры 90° С находится в помещении, температура в котором равна 20° С, то где T – температура кофе в момент времени t.

5) Министр иностранных дел государства Блефуску утверждает, что принятая Лиллипутией программа вооружений вынуждает его страну увеличить военные расходы на сколько это только возможно. С аналогичными заявлениями выступает и министр иностранных дел Лиллипутии. Возникающую в результате ситуацию (в простейшей интерпретации) можно точно описать двумя дифференциальными уравнениями. Пусть x и y – расходы на вооружение Лиллипутии и Блефуску. Предполагая, что Лиллипутия увеличивает свои расходы на вооружение со скоростью, пропорциональной скорости увеличения расходов на вооружение Блефуску, и наоборот, получаем:

где члены -ax и -by описывают военные расходы каждой из стран, k и l – положительные постоянные. (Эту задачу впервые таким образом сформулировал в 1939 Л.Ричардсон.)

6) Модель    роста    популяций    бактерий .

Пусть N(t) –численность размножающейся популяции бактерий в момент времени t. При идеальных условиях приращение численности ∆N(t) = N(t + ∆t) – N(t) за время от t до t - ∆t для многих видов бактерий можно считать примерно пропорциональным количеству имеющихся в момент времени t бактерий; кроме того, при малых ∆t приращение ∆N(t) должно быть примерно пропорциональным ∆t. Таким образом, при сделанных допущениях можно записать

∆N(t) ≈ kN(t) ∆t,где k>0 – коэффициент, зависящий от вида бактерий.

Итак, . Отвлекаясь от того, что численность может измеряться только целыми числами, будем считать, что N(t) изменяется во времени непрерывно. Учитывая, что последнее равенство должно быть тем точнее, чем меньше ∆t, после перехода в нем к пределу при ∆t→0,получим дифференциальное уравнение вида : . Следовательно, N(t)= . Так что, численность популяции возрастает по показательному закону. Если при этом известна начальная численность популяции, то есть начальное условие N(0) = , то, можно записать N(t)= .

Рассмотрим конкретный пример.

Определить во сколько раз увеличится количество бактерий за 9 часов, если в течение 3 часов их количество изменилось от 100 до 200.

Решение. Как уже было сказано выше, скорость размножения бактерий, если для них имеется достаточный запас пищи и созданы другие необходимые внешние условия (например, отсутствие подавления бактерий другими видами), пропорциональна их количеству.

Пусть х – количество бактерий в данный момент, тогда скорость изменения их количества равна производной .

Так как скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству, то существует k, что  Разделяем в дифференциальном уравнении переменные:  Интегрируя, получаем: что после потенцирования даёт . Для нахождения  С  используем начальное условие: при t=0, х=100. Имеем: Се=100, С=100, и, значит, х=100 . Коэффициент находим из условия: приt=3, х=200: 
Искомая функция: . При t=9, х=800.

Ответ: количество бактерий за 9 часов увеличится в 8 раз.

Дифференциальные уравнения являются одним из самых мощных средств математического решения практических задач. Особенно широко они используются для решения задач естественнонаучного цикла: физики, химии, биологии, экологии.

Рассмотрим еще несколько примеров построения дифференциальных моделей:

1. Чей кофе более горячий?

Анатолий и Владимир заказали в кафе кофе и сливки. Анатолий добавил в кофе немного сливок, накрыл чашку бумажной салфеткой и вышел позвонить по телефону. Владимир сразу же накрыл чашку бумажной салфеткой, а добавил то же количество сливок только через 10 мин, когда вернулся Анатолий, и они начали пить кофе вместе. Кто же пил более горячий кофе?

Считаем, что теплообмен через поверхность стола и салфетки намного меньше теплообмена через боковые стенки чашек; температура пара в чашке над поверхностью жидкости равна температуре жидкости.

Выведем сначала соотношение, показывающее, как с течением времени изменялась температура кофе в чашке Владимира до смешивания кофе со сливками. В соответствии с принятыми допущениями на основе известного закона физики количество теплоты, полученное воздухом от чашки Владимира, определяется соотношением ,

где Т — температура кофе в момент времени t, — температура воздуха в кафе, η— теплопроводность материала чашки, l— толщина стенок чашки, s — площадь боковой поверхности стенок чашки. С другой стороны, количество теплоты, отданное кофе, находим из равенства: , где с — удельная теплоемкость кофе, Т — масса кофе в чашке. Рассматривая теперь вместе уравнения, получаем

Обозначая начальную температуру кофе Т₀ и интегрируя полученное уравнение, находим T=θ+(T₀-θ)- аналитическое описание закона, по которому изменялась температура кофе в чашке Владимира до смешивания кофе со сливками.

Закон изменения температуры кофе после того, как Владимир добавил в чашку сливки, запишется в виде:

Cm(T-θ_в )=c₁m₁(θ_в –T₁₎ , где θ_в- температура смеси в момент времени t, Т₁- температура сливок, с₁- удельная теплоемкость сливок, m₁- масса сливок, добавленная в кофе.

Окончательно имеем вид: θ_в= .

Аналогично выводим закон изменения температуры кофе в чашке Анатолия и получаем: Θ_А= .

Таким образом, для ответа на поставленный в задаче вопрос остается провести численные расчеты, имея в виду, что c ≈ 3.9×10³Дж/(кг∙ К), c₁ ≈ 4,1×10³Дж/(кг∙ К), η≈0,6 В/(м∙ К). Вычисления показывают, что более горячий кофе пил Анатолий.

2. Эффективность рекламы.

Предположим, что торговыми учреждениями реализуется продукция В, о которой в момент времени t из числа потенциальных покупателей N знает лишь х покупателей. Предположим далее, что для ускорения сбыта продукции В были даны рекламные объявления по радио и телевидению.

С большой степенью достоверности можно считать, что после рекламных объявлений скорость изменения числа знающих о продукции В пропорциональна как числу знающих о товаре покупателей, так и числу покупателей, о нем еще не знающих. Если условиться, что время отсчитывается после рекламных объявлений, когда о товаре узнало N/γ человек, то приходим к дифференциальному уравнению , с начальными условиями x= N/γ при t=0 (к – положительный коэффициент пропорциональности).

Интегрируя данное уравнение, находим, что

.

Полагая NC=C_1, приходим к равенству , где A=.

3. Случай в заповеднике.

При обходе заповедника два егеря обнаружили тушу убитого дикого кабана. Ее осмотр показал, что выстрел браконьера был точным и кабан убит наповал. Рассудив, далее, что браконьер должен вернуться за добычей, егеря решили дождаться его, укрывшись недалеко от того места, где лежала туша. Вскоре показались два человека, прямо направлявшиеся к убитому животному. Задержанные неизвестные всячески отрицали свою причастность к браконьерству. Однако у егерей уже были косвенные улики их виновности, но для ее полного доказательства следовало еще уточнить время, когда был убит кабан.

Согласно закону излучения тепла скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха, т. е. , где х— температура тела в момент времени t; a—температура воздуха; k—положительный коэффициент пропорциональности.

Решение задачи связано с исследованием соотношения, получающегося в результате интегрирования данного дифференциального уравнения. При этом следует учитывать, что после того, как кабан был убит, температура воздуха могла оставаться неизменной, а могла и меняться с течением времени. В первом случае интегрирование данного уравнения приводит к равенству: ,

где х₀ — температура тела в момент времени t=0. А тогда если в момент задержания неизвестных температура туши кабана к была равна 31 °С, а спустя час составляла 29 °С, то, сбитая, что в момент выстрела в кабана его температура была х = 37 °С, а температура воздуха а = 21 °С, можно, полагая t=0 временем задержания неизвестных, определить и время выстрела. Так, воспользовавшись имеющимися данными, из полученного соотношения имеем, что .

Подставим полученное значение для и х=37 в уравнение, находим

.

Иначе говоря, между моментом выстрела и тем моментом, когда неизвестные были задержаны, прошло 2 часа и 6 минут.

В том случае, когда температура воздуха меняется со временем, закон охлаждения тела запишется в виде линейного неоднородного дифференциального уравнения:, где a(t) — температура воздуха в момент времени. В этом же случае следует, что кабан был убит приблизительно за 1 час и 12 минут до обнаружения его егерями.

Теория дифференциальных уравнений в настоящее время представляет собой исключительно богатый содержанием, быстро развивающийся раздел математики, тесно связанный с другими областями математики и с ее приложениями.

Литература:

1) Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1984

2) Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М., 1986

3) Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987.