МАКАРИЧЕВ А.В.

Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет (ХАДИ)

ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ РЕЗЕРВА ЭЛЕМЕНТОВ В

КОМПЛЕКСАХ ВОЗОБНОВЛЯЕМЫХ

СИСТЕМ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ ЭЛЕМЕНТОВ

Комплекс содержит возобновляемых систем. Каждая система состоит из элементов, которые могут отказать. Отказавший элемент поступает в ремонтный орган (РО), а после восстановления возвращается в одну из систем. Состояние процесса обслуживания определяет вектор

,

где - число неисправных элементов -й системы. Если число неисправных элементов -й системы достигает величины наступает ее отказ, . Множество состояний -й системы делится на два подмножества: - множество исправных состояний и - множество неисправных состояний, . Отказ комплекса наступает в случае отказа хотя бы одной из его систем. Кроме этого, состояние комплекса определяет вектор , где - число, резерв системы, неотрицательность которого гарантирует исправность -й системы. При система неисправна. Возвращение восстановленного элемента в комплекс осуществляется согласно правилу . В зависимости от состояния комплекса в настоящий момент и его состояний в прошлом число показывает номер системы, куда возвращается восстановленный элемент. Пусть - множество таких правил возвращения. После возвращения элемента согласно правилу комплекс переходит из состояния в состояние

.

Пусть - последовательность моментов отказавших элементов комплекса, а - последовательность моментов возвращения из РО элементов в комплекс.

Определение. Система «комплекс-РО» называется симметричной, если выполнены два условия:

а) для любого момента и любого начального состояния в этот момент вероятностные характеристики будущего - совместные конечномерные распределения для пары потоков - не меняются от перенумерации числами от 1 до ;

б) если в некоторый момент происходит отказ элемента в комплексе, то с равными вероятностями номер системы, где происходит отказ элемента, есть любое число от до .

Перестановку компонент вектора в порядке возрастания (если , то ) обозначим . Пусть аналогичная перестановка для состояния комплекса . В множестве всевозможных состояний комплекса можно ввести отношение частичной упорядоченности: , если

, , … , , … ,

(1)

Введенное отношение транзитивно: если и , то , что следует из отношения упорядоченности для действительных чисел, которое транзитивно. Пусть - правило, согласно которому восстанавливаемый элемент возвращается в систему с наименьшим резервом, а если таких систем несколько, то в систему с наибольшим номером

.

Лемма 1.2.

Для любого правила возвращения и любого состояния комплекса

Доказательство. Пусть . В суммах (1) для состояния первые сумм такие же, как и у состояния . Остальные, начиная с -й увеличатся на единицу. При любом другом правиле возвращения , начиная с некоторой суммы, все остальные увеличатся на единицу. А вот номер этой суммы будет не меньше, чем . Поэтому .

Лемма 2.

Для любых двух состояний, связанных отношением , правило возвращения сохраняет это отношение

.

Доказательство. Пусть и (). При утверждение леммы очевидно выполнено. Пусть оно справедливо при и любых состояний . При возможны варианты:

1. ,; в этом случае возвращение элемента согласно правилу увеличивает на единицу обе части по меньшей мере двух последних неравенств и, отбросив и из наборов и утверждение леммы при получим, опираясь на его справедливость при .

2. , , ; в этом случае каждая из сумм (1) для состояния , кроме последней, меньше соответствующей суммы для по крайней мере на единицу ( в противном случае, если какое-то из первых неравенств превращается в равенство, то из-за того, что и , не выполнено по крайней мере последнее неравенство в определении , что противоречит условию ) и поэтому, , так как возвращение элемента увеличивает суммы не более, чем на единицу, а последнюю - ровно на единицу, для каждого из состояний и .

3. , , , соотношение выполнено, поскольку и все неравенства (1) строгие.

4. ; в этом случае неравенства (1) выполнены для и , так как лишь последняя сумма у состояния увеличивается на единицу, а у состояния суммы быть может и ранее последней, увеличиваются на единицу, а последняя увеличивается на единицу наверняка. Таким образом, при утверждение леммы справедливо. Согласно методу математической индукции лемма 2 доказана.

Лемма 3.

Для любого состояния , для любого правила и

,

где - состояние, полученное из состояния после возвращений согласно правилу .

Доказательство. При утверждение леммы следует из леммы 1 Пусть оно справедливо для . Докажем его для . Пусть и . Из леммы 1 следует, что . Согласно предположению индукции . Согласно лемме 2, примененной раз . В силу транзитивности отношения имеем , что доказывает утверждение леммы при . Согласно принципу математической индукции утверждение леммы 3 доказано.

Если - состояние комплекса, в котором в -й системе происходит отказ элемента, то новое состояние комплекса обозначим , где - перестановка, упорядочивающая компоненты вектора в порядке поступления.

Лемма 4.

Для любых состояний комплекса справедливо соотношение

.

Доказательство. Утверждение леммы докажем индукцией по числу систем в комплексе. При оно очевидно. Пусть оно справедливо при . При после отказа элемента последнее неравенство в (1) сохранится, так как его обе части уменьшатся на единицу. Если , то после отбрасывания и - последних компонент векторов и после их упорядочения - справедливость остальных неравенств следует из предположения индукции о верности утверждения леммы 4 при числе систем равном . Если , то возможны следующие варианты:

1. , . Взяв в качестве число , мы получим после упорядочения те же наборы компонент для и , что и для случая и поэтому утверждение леммы 4 следует из предположения индукции.

2. , . Пусть . Рассмотрим неравенства (1.2) для компонент и . Неравенства с -го до -го будут строгими (в противном случае, если какая-то, например -я строка является равенством, , то и тогда, так как , не выполнено одно из следующих неравенств, что противоречит условию ). Отсюда следует, что соотношение выполнено, так как все суммы с меньшими, чем номерами, не изменятся, а суммы для , начиная с -й до -й уменьшатся на единицу и из-за строгости соответствующих неравенств нестрогие неравенства сохранятся. У состояния лишь последняя сумма уменьшится на единицу, что не нарушит последнее неравенство, так как его обе части уменьшатся на единицу.

3. . В этом случае первые компонент вектора не меняются и поэтому соотношение выполнено, так как обе части последнего -го неравенства уменьшаются на единицу. Утверждение леммы доказано для . По принципу математической индукции оно справедливо для всех . Утверждение леммы 4 доказано.

Пусть - состояние комплекса в момент с правилом возвращения . Пусть в момент () состояние комплекса было . Под элементарным событием будем подразумевать тройку (), где - последовательность моментов отказов, - последовательность чисел, каждое из которых может принимать целые значения от до . Если в момент состояние комплекса , то - номер системы, в которой в момент происходит отказ элемента. - последовательность моментов возвращения в комплекс восстановленных в РО элементов. Следующее утверждение показывает, что отношение состояний двух идентичных комплексов при правиле возвращения сохраняется с течением времени для любого элементарного события .

Лемма 5.

Для любых двух состояний и комплексов в момент времени таких, что , и любого

для любого .

Доказательство. Утверждение леммы докажем индукцией по номеру правого конца промежутка , которому принадлежит . При утверждение леммы 5 следует из лемм 2 и 4 ( лемму 2 применяем, если на этом промежутке есть возвращения в комплекс согласно правилу , а лемму 4 применяем в момент ). Пусть утверждение леммы справедливо для . Докажем его справедливость для . Пусть - состояния комплексов в момент и произвольны. Из справедливости утверждения леммы при следует, что в момент состояния комплексов и удовлетворяют соотношению . Согласно предположению индукции для промежутка на нем справедливо неравенство

,

где - элементарное событие, полученное из элементарного события сохранением компонент, которые существенны при и отбрасыванием тех компонент, которые уже осуществились на промежутке . Отсюда следует, что

для любого . Согласно методу математической индукции утверждение леммы 5 справедливо для любого .

Лемма 6.

Для любого состояния комплекса в момент , для любого правила возвращения и любого

для любого .

Доказательство. Его проведем индукцией по номеру правого конца промежутка , в котором лежит . При утверждение следует из лемм 3 и 4. Пусть оно справедливо при для любого начального состояния и любого . Докажем его справедливость для . Так как оно верно для , то

(2)

Пусть получено из сохранением компонент, существенных при , и отбрасыванием компонент, осуществившихся при . Согласно предположению индукции для промежутка имеем

(3)

для любого . Согласно лемме 5

(4)

для любого . Из транзитивности отношения и отношений частичной упорядоченности состояний, (2), (3), (4) следует

для любого . Согласно методу математической индукции лемма 6 доказана.

Пусть - время до отказа комплекса при условии, что в момент его состояние исправно , - класс правил возвращения, для которых восстановленный элемент возвращается в систему с минимальным резервом .

Лемма 7. Для любых правил возвращения

.

Доказательство. Утверждение леммы непосредственно следует из определения класса и определения отношения состояний .

Замечание. Из леммы 7 и транзитивности отношения следует, что утверждения лемм 1 - 6 остаются в силе, если правило возвращения заменить любым другим правилом возвращения из класса .

ТЕОРЕМА 1.

Если объединение систем «комплекс - РО» является симметричным, то для любого начального исправного состояния комплекса в момент и любых правил возвращения правила возвращения из класса обеспечивают максимум по вероятности для времени пребывания комплекса в исправном состоянии, то есть

для любого .

Доказательство. Из замечания следует, что для любого начального исправного состояния комплекса , любых правил возвращения и любого

.

Отсюда и определения отношения следует, что если все компоненты вектора неотрицательны, то и все компоненты вектора также неотрицательны. Отсюда, если , то и . Поэтому

для любых . Отсюда и свойства симметричности объединения систем «комплекс - РО» следует, что

.

Теорема 1 доказана.

Обозначим - момент входа комплекса в исправное состояние при условии, что в момент он находился в неисправном состоянии .

ТЕОРЕМА 2.

Если объединение систем «комплекс - РО» является симметричным, то для любого начального неисправного состояния в момент и любых правил возвращения правила возвращения из класса обеспечивают минимум по вероятности для времени пребывания комплекса в неисправном состоянии, то есть

.

Доказательство. Из замечания следует, что для любого начального состояния и любых правил возвращения и для всех

для любого . Отсюда и определения отношения следует, что если , то и . Поэтому

для любых . Из свойства симметричности объединения систем «комплекс - РО» следует, что . Теорема 2 доказана.

Таким образом, из теорем 1 и 2 следует, что правило возвращения элементов в систему с минимальным резервом обеспечивает максимум по вероятности для времени пребывания комплекса в множестве исправных состояний, начиная с любого исправного состояния, и минимум по вероятности для времени пребывания комплекса в множестве неисправных состояний, начиная с любого его неисправного состояния.

Литература.

1. Макаричев А.В. Оптимальное возвращение элементов в комплекс возобновляемых систем с горячим резервом. Электронное моделирование, 1993, № 1, 74-77.

2. Макаричев А.В. Оптимальное распределение элементов в комплексе восстанавливаемых систем с холодным резервом. Теория вероятностей и ее применения., 1995, т. 40, вып.1, с. 84-95.