О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ КОМПРЕССИОННОГО ПЕРЕЛОМА ПОЗВОНОЧНИКА

Р.Л. Седов1, С.В. Орлов2

1Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации, 2Калининградская городская клиническая больница

rsedoff@yandex.ru, ser-orlov@yandex.ru

 

1. ВВЕДЕНИЕ. В работе [1] описывается математическая модель стабильности трехпозвонкового комплекса человека. В основу модели положено математическое описание динамических процессов дифференциальными уравнениями Лагранжа 2-го рода, составляемого на основе расчетной схемы трехпозвонкового комплекса, представленного как дискретные сосредоточенные массы, связанные упругодемпфирующими элементами и обладающие определенными геометрическими параметрами. За основу модели был принят принцип стабильности позвоночного столба изложенный L. Rene [6], где стабильность позвоночника представлена в вертикальной, горизонтальной и аксиальной плоскостях (ротация), что обеспечивается телами позвонков с дугоотростчатыми суставами, которые связаны между собой упруго-демпфирующими элементами (межпозвоночные диски, мышечно-связочный аппарат).

Учитывались следующие параметры трехпозвонкового комплекса: механическая система является диссипативной; распределение нагрузок соответствует трехстолбовой концепции F. Denis [3]; предел прочности тел позвонков и упругодемпфирующих элементов, а также их упругая деформация  и плотность считались условно установленными по данным  работы [2]; изменение геометрических характеристик трехпозвонкового комплекса соответствовало типичным типам статико-динамических нарушений стабильности позвоночника [5].

Расчетная схема фрагмента позвоночника человека, состоящая из трех позвонков с клиновидным средним позвонком и стабилизирующими конструкциями представлена на рис.1:

 

Рис.1.         Приведенная механическая схема трехпозвонкового комплекса с патологией среднего позвонка и ее двухсторонней стабилизацией

На расчетной схеме (рис.1) третий позвонок связывается посредством жестких элементов Сор1 и Сор2 с опорой по оси Х, а первый по оси У через – Су [1].

Для фиксации вариантов нестабильности позвоночника предусмотрено применение  условных жестких плоскостных конструкций с коэффициентами жесткости Сст1 и Сст2, что позволяет моделировать, как жесткие ригидные  металлические системы, как и полуригидные пружинные элементы. Выбранная динамическая модель трехпозвонкового комплекса человека (см. рис.1) является механической системой, для которой уравнение Лагранжа 2-го рода имеет вид:

;     k=1,…,7,                                               (1)

где Т, П – кинетическая и потенциальная энергия системы; Ф – диссипативная функция, определяемая спинными мышцами и связками; Qk – внешние воздействия. В качестве обобщенных координат принимаются следующие координаты: смещения по оси OX хi, смещения по оси OY y, i=1,2,…, 6. Система линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка имеет вид:

                                                           (2)

где  А = М-1 С; ; F = ,

;

 

Методом расщепления, эта система приводима к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Особенностью численного решения системы с большим числом обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка является то, что данная система решается относительно производных от обобщенных координат, которые являются тангенсами углов наклонов касательных проведенным к точкам этих траекторий. Даже незначительные погрешности вычисления указанных производных по разностным схемам первого порядка точности 0(t) приводят к значительным погрешностям численных значений функций обобщенных координат. А с учетом большого числа уравнений (k = 14) и неточностью задания начальных условий для них, делают эти разностные схемы неприемлемыми для решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с квазилинейными коэффициентами (2). Поэтому используются разностные схемы, повышающие порядок точности аппроксимации дифференциальных уравнений, основанные на введении полуцелых временных слоев j+0.5. При этом нормализованная система дифференциальных уравнений 1-го порядка, решается по разностным схемам второго порядка точности по времени 0(t2). Полученные численные методы относятся к классу методов дробных сеток.

2. ОПТИМИЗАЦИЯ. Цель оптимизации – рассчитать параметры стабилизирующей конструкции, которая будет иметь следующие свойства: фиксировать средний клиновидный позвонок – минимизировать его смещение, сохранять физиологическую подвижность трехпозвонкового комплекса. Так как целевых функций две, то задача исследования операций относится к типу задач векторной оптимизации (многокритериальной оптимизации). В качестве локальной задачи оптимизации выберем нахождение параметров жесткости левой Cct1 и правой Cct2 полуригидных фиксирующих устройств. Эти параметры находятся в области допустимых решений задачи. Область допустимых решений задачи векторной оптимизации задаётся системой неравенств:

100<Q<800,

                                             

0< β1<57,

0<β3<57,

q(X1,X3)≥ μ,

где q – смещение позвонков от выбранной оси ординат, μ – константа подвижности позвоночника (физиологически допустимое смещение позвонков от выбранной оси ординат), выраженная в мм.

Векторный критерий оптимальности сведён к минимизации следующей целевой функции:

                                 (3)

где - коэффициенты предпочтения i-го критерия, i=1,2.

Переменные жесткостей пластин варьировалась в пределах:

.

3. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ. На рис. 2 и 3 представлены зависимости смещения 2-го позвонка по оси Y и от коэффициента жесткости стабилизирующей пластины Ссt1. Как видно из графиков, наименьшее смещение поврежденного позвонка произойдет при значении коэффициента жесткости пластины Ссt1=609.4 Н/мм, если приложение внешней нагрузки приходится на 21 мм (центр тяжести). При такой фиксации подвижность системы сохраняется.

Рис. 2. Зависимость Y и Y2cm от жесткости стабилизирующей пластины Cct1 в приложении внешней нагрузки к центру тяжести (в прямом положении позвоночника).

Если же внешняя нагрузка действует непосредственно на центр тяжести, то стабилизация комплекса требует более жесткой пластины Cct1=6403.6 H/мм. При таких условиях подвижность конструкции также сохраняется (рис. 3). Из рис. 4 следует, что уже начиная с β1 = 50 смещение клиновидного позвонка не превысит физиологической ригидности системы позвоночника. При усугублении повреждения позвонка происходит рост смещения, а значит угроза ухудшения патологии. В этом случае требуется оперативное вмешательство.

 

Рис. 3. Зависимость Y и Y2cm от жесткости стабилизирующей пластины Cct1 в приложении внешней нагрузки к точке y=0 мм (при наклоне позвоночника).

Рис. 4. Зависимость Y и Y2cm от угла β1 верхней клиновидности в приложении внешней нагрузки к точке y=21 мм (при наклоне позвоночника)

Разработанный математический аппарат позволяет построить комплексы программ для медицинских учреждений при подготовке операций на основе линейных размеров трех позвонков, полученных из рентгеновских снимков позвоночника человека и соответствующих биомеханических параметров межпозвоночных дисков и демпфирующих элементов в случае деформации одного из позвонков и компрессионном переломе позвоночника.

 

СПИСОК ЛИТЕТРАТУРЫ

1.     Седов Р.Л., Орлов С.В., Бобарыкин Н.Д. О расчёте параметров динамических стабилизирующих конструкций на основе математической модели трёхпозвонкового комплекса человека// Математическое моделирование. Том. 22. №2. – М., 2010, с. 113 – 123.

2.     Громов А.П. Биомеханика травмы. - М.: Медицина, 1979. с.179 –210.

3.     Denis F. Spinal instability as defined by the three column spine concept in acute spinal trauma. Clin. Orthop. 189:65. - 1984.

4.     Denis, F. (1983): The three column spine and  significance in the classification of acute thoracolumbar spinal injuries. Spine 8: 817-831

5.     Fergusson R.., Tencer A., Woodard P., Allen A. Biomechanical comparison of spinal fracture models and the stabilizing effects of posterior instrumentations. Spine 13:453. – 1988.

6.     Reno Louis Surgery of the Spine. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1983. p. 55-58.