Математика/ 5. Математическое моделирование

Айнабек Е.Е., к.ф.-м.н. Искакова А.С.

Казахско-турецкий лицей г. Петропаловск, Казахстан

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Казахстан

Построение вероятностной модели оправдываемости прогноза букмекерской конторы

Допустим, что на некоторый временной период i строится прогноз дохода ψ(i). Пусть значение эмпирической функции на этот период принимает значение y(i). Обозначим, через φ(i) разность прогноза ψ(i) и значение эмпирической функции дохода на этот период y(i), то есть

Можем наблюдать, что вероятность оправдываемости прогноза ψ(i) вероятности отклонения φ(i), подчиняемое нормальному закону с параметрами (µ=0,σ), то есть

₍₁₎

где σ- среднеквадратическое отклонение дохода букмекерской конторы. То есть вероятность отклонения дохода от значения эмпирической функции определяется по формуле (1).

На практике, как правило, параметр σ является не известным. Следовательно формула (1) не находит практического применения. В таких случаях с использованием результатов математической статистики, определяют статистические оценки для параметра распределения (1).

Любая статистическая оценка строится по статистическим данным или, в терминах математической статистики, по реализации выборки х=(х₁,…,x_k). Например, статистические данные выше приведенного примера о доходах букмекерской конторы «Гол-Пас»можно представить в виде следующей реализации выборки х=(х₁,…,x_k)=(135512,845;-117681,179;-369471,462;351639,796), где x_i – абсолютная величина отклонения дохода от значения эмпирической функции на i-й период.

Из курса математической статистики известно, что оценка максимального правдоподобия для параметра σ любого вероятностного распределения является состоятельной, асимптотический нормальной и асимптотический эффективной оценкой. Другими словами, оценка максимального правдоподобия является несмещенной оценкой с хорошими асимптотическими свойствами.

Оценка максимального правдоподобия для параметра σ распределения (1), определяется как

₍₂₎

Следовательно, оценка максимального правдоподобия для вероятности распределения (1), определяется как

где -оценка максимального правдоподобия параметра σ, определяемая по формуле (2).

Пример. На основе результатов таблицы определить оценку максимального правдоподобия вероятности того, что отклонения фактических данных от эмпирических значений примет значения больше крайне пессимистических прогнозов и меньше крайне оптимистических прогнозов доходов букмекерской конторы.

Таблица. Сравнение консалтингового отчета о доходах букмекерской конторы и значений эмпирических функций

	Май, 2012	Июнь,2012	Июль, 2012	Август, 2012
Консалтин. отчет о доходах	1756277	1995115	2031145	2956468
Значения эмпир. функции	1620764,154	2112796,179	2400616,463	2604828,204
Сравнение	135512,845	-117681,179	-369471,462	351639,796

Решение. Рассмотрим оценку максимального правдоподобия для вероятности отклонения дохода букмекерской конторы.

Имеем -φ₁=φ₂=369471,462. Определим оценку максимального правдоподобия для среднеквадратического отклонения , определяемая по формуле (2) и по реализации выборки х=(х₁,…,x_k)=(135512,845;-117681,179;-3694

71,462;351639,796). В данном случае, имеем

То есть оценка максимального правдоподобия вероятности оправдываемости прогноза, примающий значения больше крайне пессимистических прогнозов и меньше крайне оптимистических прогнозов доходов букмекерской конторы, составляет 0,823.

Таким образом, предложенная вероятностоно-статистическая модель распределения вероятности оправдываемости прогнозов, позволяет определить оценку максимального правдоподобия. По результату представленного примера видно, что наблюдается оценка 82,3% для вероятности выполнения прогноза, принимающие значения больше крайне пессимистических и меньше крайне оптимистических прогнозов доходов. Это говорит о том, что доходность букмекерской конторы носит случайный характер. Полученную оценку можно считать критерием оправдываемости для оценки идеальных прогнозов. Эти оценки указывают на известный факт, что сильно изменчивые доходности букмекерских контор не пддаются 100-процентному прогнозированию, которые иногда требуются игрокам и другим заинтересованным лицам.

Литература:

1. Искакова А.С. Условие существования оценок максимального правдоподобия для параметров одного класса многомерных распределений // Известия МОН РК, НАН РК. 2004 г. №1. – С. 90-95.

2. Искакова А.С. Об определении некоторых оценок одной вероятностной модели // Евразийский математический журнал. -2005, №2.- С. 87-101.