Математика/ 5. Математическое моделирование

Акпаев Б.Т.

(Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева,

г. Астана, Казахстан)

Управление лазерным источником тепла и холода

При обработке стержня точечными источниками тепла [1] возникает необходимость решения следующей задачи:

(1)

От функции требуется условие “согласования”:

(2)

Здесь и - положительные числа зависящие от обрабатываемого материала, и - функции зависящие от мощностей нагревающего и охлаждающего устройств соответственно, а и непрерывные функции принимающие значения на , причем - указывающий на нагреваемый участок, а - на охлаждаемый участок, и наконец, - дельта – функция Дирака. Функции и берем таковыми, что

или , или . (3)

Задача 1. Пусть и - один раз непрерывно – дифференцируемая по и два раза непрерывно – дифференцируемая по функция в области , удовлетворяющая условиям задачи (1). Построить и , удовлетворяющие условию (3) и непрерывные функции и принимающие значения на так, чтобы

(4)

Сразу отметим, что при задача 1 может не иметь решения. Но для приложений достаточно, чтобы она имела решение при .

Задача 2. Пусть , и удовлетворяют условию

(5)

Построить , удовлетворяющие условию (5), и непрерывные вектор – функции , принимающие значения на так, чтобы решение задачи (1) удовлетворяло условию

(6)

В дальнейшем мы увидим, что задача № 2 имеет бесконечно много решений некоторые из которых отстоят друг от друга на приличном расстоянии. Поэтому от решений можно требовать некоторое условие оптимальности.

Дадим принятое нами определение оптимальности.

Определение. Решение задачи № 2 назовем оптимальным, если

,

где infimum берется по всем и таким, что решение задачи (1) удовлетворяет условию (6).

Из определения оптимальности следует, что оптимальное решение соответствует выбору , , , так, чтобы затрата энергии была минимальной.

Для решения задач 1 и 2 нам необходимо рассмотреть задачу на собственные значения:

(7)

Так как, если , и удовлетворяет условию задачи (7), то

.

Отсюда следует, что задача (7) есть самосопряженная задача.

Решение уравнения

представляется в виде

(8)

Поэтому для собственных чисел из задачи (7) получаем систему уравнений

(9)

Это есть однородная система двух линейных уравнений относительно постоянных и . Запишем условия разрешимости системы (9). Тогда получим трансцендентное уравнение относительно :

(10)

Это уравнение, в силу самосопряженности задачи, имеет дейсвительные корни. Корней будут счетное число с единственной предельной точкой в . Поэтому их можно нумеровать в порядке неубывания

.

(11)

Пусть - ортонормированная система собственных функций в задачи (7), т.е.

, ,

,

.

Пусть

(12)

(13)

Из задачи (1) получаем

, (14)

Умножим уравнение из (1) на (). Тогда

(15)

Учитывая (14), из (15) находим:

(16)

Таким образом, верна

Лемма. Решение задачи (1) равно

, (17)

где - коэффициенты Фурье по системе .

Пусть функция из задачи 1. Из условия задачи имеем

(18)

Функцию можно выразить через , как решение задачи (18) из леммы: также как уравнение в (18) из леммы получаем

,

где и () коэффициенты Фурье по системе функций и соответственно. Здесь из задачи (18), а из уравнения (18). В дальнейшем возьмем . Тогда

(19)

.

Для решения из (17) и из условия задачи 1 имеем

.

Так как (по условию задачи 1), то

.

Здесь и из (19).

.

Действительно, для остаточного члена имеем при

.

Мы здесь пользовались тем, что , , ограничены постоянным числом, а как коэффициенты Фурье функции по системе ограничены постоянным числом, т.к. - непрерывно – дифференцируемая по один раз, а по два раза.

Таким образом:

,

, (20)

где и не зависят от выбора и .

Литература

1. М. Отелбаев, А. Гасанов, Б. Акпаев. Об одной задаче управления точечным источником тепла. Доклады Академии Наук. – Москва, 2010. – Т. 435, № 3. - С. 1-3