СВЯЗЬ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ И КАЛЕНДАРЯ

Л.О.Фазлутдинова

Лесосибирский педагогический институт - филиал ФГАОУ ВПО

«Сибирский федеральный университет»

 Цепные дроби впервые появились  в 16 веке. В зависимости от количества элементов различают конечные и бесконечные цепные дроби. Цепная дробь (или непрерывная дробь) — это математическое выражение вида

[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots] = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ldots}}}\;

Например:

http://virlib.eunnet.net/books/numbers/pict/7-004.gifhttp://virlib.eunnet.net/books/numbers/pict/7-002.gif

 

Первый пример  представляет собой конечную цепную  дробь, а последний - бесконечную. Для того чтобы цепные дроби не остались лишь красивой математической конструкцией, важно решать два типа задач:

1) дана цепная дробь, требуется определить её значение;

2) дано действительное число, требуется построить соответствующую цепную дробь.

Как определить значение цепной дроби? Если цепная дробь конечна, то задача сводится лишь к более или менее трудоёмкому вычислению, а результат представляет собой рациональное число. Совсем другое дело, когда она бесконечна. Приблизительное значение бесконечной канонической цепной дроби можно получить, если "превратить" её в конечную, т.е. отбросить "хвостик". При этом чем больше "этажей" мы оставим , тем точнее будет результат.  Как построить цепную дробь.

Разложение в каноническую цепную дробь  произвольного действительного числа - это однообразный процесс, который состоит из двух многократно повторяющихся и чередующихся друг с другом действий: "получения достатка" и "обращения остатка".  

"День и ночь - сутки прочь", "Зима и лето - года нету": С незапамятных времён люди подметили, что важнейшие отрезки времени - год и сутки - определяются различными природными процессами. Однако в том, что год не измеряется целым числом суток, они разобрались далеко не сразу. Но ведь если измерять год с целым количеством суток, то постепенно набегут (или убегут) "лишние" секунды, минуты, часы, которые со временем составят дни, недели и месяцы. Так оно и произошло.

     В 46 г. н.э. Юлий Цезарь поставил перед учеными задачу избавиться от ошибок в календаре. По предложению александрийского астронома Созигена он ввёл такую систему: Каждый четвертый год должен быть на 1 сутки больше чем обычный год, состоящий из 365 суток. Впоследствии длинными или високосными, стали считать годы, номер которых делится на 4. В честь Юлия Цезаря этот календарь стали называть юлианским. Но и он был не безупречен - средняя длина юлианского года больше истинной на 11 минут 14 секунд. Следующую реформу календаря в Европе предпринял Папа Римский Григорий 13 в 1582 году, когда расхождение между истинным и юлианским годом составило 10 дней. Он осуществил проект предложенный итальянским врачом и математиком Луиджи Лилио . Этот календарь, которым пользуются сейчас и в России, стали называть григорианским.

В григорианском календаре сохраняется чередование простых и високосных лет, но оно дополняется правилом: если номер года оканчивается двумя нулями, а число сотен не делится на 4, то этот год - простой (годы 1700,1800,1900-й  -простые, а год 2000 - високосный). По григорианскому календарю средняя длина года составляет 365 суток 5 часов 49 минут 12 секунд, что на 26 секунд больше истинной. Такая точность вполне приемлема, ведь ошибка в 1 сутки при данной системе набежит примерно за 3300 лет. Давайте взглянем  на проблему календаря с точки зрения теории цепных дробей. Выразим длину года в сутках и представим эту величину в виде цепной дроби:

http://www3.vspu.ac.ru/deold/matem/mat9920/vop/2mr53.jpg

 

     Последовательность подходящих дробей для неё такова:

 

 

 Какая из этих дробей вам больше нравится? Возьмем 365. В этом случае за 4 года набегает 1 "лишний" день - и мы получаем юлианский календарь.

 Возьмём   . Теперь за 33 года набегает 8 "лишних" дней, и это календарь, предложенный в 1079 г. персидским математиком и поэтом Омаром Хайямом. Он даже точнее григорианского.

 А если выбрать подходящую дробь   , то получим  соответствующий ей календарь фантастической точности, по которому средняя длина года на 1 секунду будет превышать истинную! В1864 году профессор Дерптского университета (ныне Тартуский) Иоганн Генрих Медлер предложил с 20-го века ввести такой календарь в России. В нем пришлось бы каждые 128 лет пропускать 1 високосный  год, если високосные годы отсчитывать по принятой тогда юлианской системе. Процедура простая, но то ли в силу обычного консерватизма, то ли по другим причинам этот календарь распространения не получил.