М. П. Ленюк

Чернівецький факультет НТУ”ХПІ”

Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є-Ейлера-Лежандра на сегменті полярної осі.

Побудуємо обмежений на множині

розв'язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Фур'є, Ейлера та Лежандра для модифікованих функцій

,

(1)

за крайовими умовами

(2)

та умовами спряження

(3)

У рівностях (1) беруть участь диференціальні оператори Фур'є [1], Ейлера [1] та Лежандра

[2];

Умови на коефіцієнти:

Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Фур'є утворюють функції та [1]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Ейлера утворюють функції та [1]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Лежандра утворюють функції та

Наявність фундаментальної системи розв'язків дозволяє побудувати розв'язок крайової задачі (1)-(3) методом функцій Коші [1,3]:

(4)

У рівностях (4) - функції Коші [1,3]:

(5)

Тут

Безпосередньо перевіряється, що

(6)

(7)

(8)

У рівностях (6)-(7) беруть участь функції:

Всі інші функції загальноприйняті [4].

Крайові умови (2) та умови спряження (3) для визначення величин дають неоднорідну алгебраїчну систему із шести рівнянь

(9)

У системі (9) беруть участь функції:

та символ Кронекера .

Введемо до розгляду функції:

Припустимо, що виконана умова однозначної розв'язності крайової задачі (1)-(3): для будь-якого ненульового вектора визначник алгебраїчної системи (9) відмінний від нуля :

(10)

Визначимо головні розв’язки крайової задачі (1)-(3):

1) породжені крайовою умовою в точці функції Гріна

(11)

2) породжені крайовою умовою в точці функції Гріна

(12)

3) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

(13)

4) породжені неоднорідністю системи функції впливу

,

(14)

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (9) та підстановки отриманих (за правилом Крамера ) значень у формули (4) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1)-(3):

(15)

Побудуємо тепер розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом гібридного інтегрального перетворення, породженого на множині гібридним диференціальним оператором (ГДО)

(16)

де - одинична функція Гевісайда [3].

Оскільки ГДО самоспряжений і на множині не має особливої точки, то його спектр неперервний та дискретний. Власні числа й відповідні їм власні функції ГДО знайдемо, як ненульовий розв’язок спектральної задачі Штурма-Ліувілля, породженої ГДО .

Знайдемо розв'язок сепаратної системи диференціальних рівнянь Фур’є, Ейлера та Лежандра для звичайних функцій

(17)

за однорідними крайовими умовами

(18)

та однорідними умовами спряження

(19)

У рівностях (17)-(19) - спектральний параметр, компоненти спектральної вектор-функції

,

яка відповідає спектральному параметру .

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур´є складають функції та [1]; фундаментальну систему розв´язків для диференціального рівняння Ейлера складають функції та [1]; фундаментальну систему розв´язків для диференціального рівняння Лежандра складають функції та [2],

В силу лінійності спектральної задачі (17)-(19) функції будемо відшукувати у вигляді лінійної комбінації фундаментальної системи розв’язків:

(20)

.

Крайові умови (18) та умови спряження (19) для визначення шести величин дають однорідну алгебраїчну систему із шести рівнянь:

(21)

Введемо до розгляду функції:

Алгебраїчна система (21) має ненульовий розв'язок тоді й тільки тоді, коли визначник системи рівний нулю [5]:

(22)

Ми одержали трансцендентне рівняння для обчислення власних чисел ГДО , визначеного рівністю (16).

Підставимо в систему (21) й відкинемо останнє рівняння внаслідок лінійної залежності.

Припустимо, що , де підлягає визначенню. Перше рівняння системи стає тотожністю. Для визначення маємо алгебраїчну систему з двох рівнянь:

(23)

Визначник алгебраїчної системи (1.23) обчислюється безпосередньо:

Алгебраїчна система (23) має єдиний розв'язок [5]:

(24)

При відомих для визначення отримуємо алгебраїчну систему з двох рівнянь:

(25)

Визначник алгебраїчної системи (25) обчислюється безпосередньо:

Алгебраїчна система (25) має єдиний розв’язок [5]:

(26)

Підставимо визначені формулами (24),(26) величини у рівності (1.20). Одержуємо функції:

(27)

Отже, спектральна вектор-функція, що відповідає власному значенню , стає відомою:

(28)

Визначимо числа

вагову функцію

(29)

та квадрат норми власної функції

(30)

Згідно з роботою [6] сформулюємо твердження:

1) корені трансцендентного рівняння утворюють дискретний спектр ГДО ; 2) система власних функцій ортогональна на множині з ваговою функцією; 3) будь-яка вектор-функція зображається за системою абсолютно й рівномірно збіжним рядом Фур'є:

(31)

Ряд Фур'є (31) визначає пряме та обернене скінченне гібридне інтегральне перетворення (СГІП), породжене на множині ГДО

(32)

(33)

Введемо до розгляду величини та функції:

В основні застосування запровадженого правилами (32), (33) СГІП знаходиться основна тотожність інтегрального перетворення ГДО

(34)

Правила (32), (33) та (34) складають математичний апарат для побудови розв’язку крайової задачі (1)-(3) за відомою логічною схемою [7].

Систему (1) запишемо в матричній формі:

(35)

Інтегральний оператор згідно правила (32) зобразимо у вигляді операторної матриці-рядка:

(36)

Застосуємо операторну матрицю-рядок (36) до системи (35) за правилом множення матриць. Внаслідок основної тотожності (34) маємо алгебраїчне рівняння:

Звідси знаходимо, що функція

(37)

Оператор згідно правила (33) як обернений до (36) зобразимо у вигляді операторної матриці-стовпця:

(38)

Застосуємо операторну матрицю-стовпець за правилом множення матриць до матриці-елемента , де функція визначена формулою (37). У результаті низки елементарних перетворень маємо єдиний розв'язок крайової задачі (1)-(3):

(39)

Всюди .

Порівнюючи розв’язки (15) та (39) в силу теореми єдиності, маємо такі формули підсумовування поліпараметричних функціональних рядів :

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

Зауваження 1. Якщо то ,

якщо то якщо то

Підсумком виконаного в роботі дослідження є твердження.

Основна теорема. Якщо вектор-функція неперервна на множині , а функції задовольняють крайові умови (2) та умови спряження (3) і виконується умова (10) однозначної розв’язності крайової задачі (1)-(3), то мають місце формули (40)-(44) підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами ГДО , визначеного рівністю (16).

Список використаних джерел:

1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений - М.: Физматгиз, 1959.-468с.

2. Конет І. М., Ленюк М.П. Інтегральні перетворення типу Мелера-Фока. - Чернівці: Прут, 2002.-248с.

3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальний курс.-М.: Наука, 1965.-328с.

4. Ленюк М.П. Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридних диференціальних операторів. ТомVIIІ. - Чернівці: Прут, 2011.-332с.

5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.-432 с.

6. Комаров Г.М., Ленюк М.П., Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку. - Чернівці: Прут, 2001.-228с.

7. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені класичними диференціальними операторами математичної фізики. Том 2. – Тернопіль: Економічна думка, 2012. – 308с.