М. П. Ленюк

Чернівецький факультет НТУ”ХПІ”

Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера- Бесселя- (Конторовича-Лєбєдєва) на полярній осі

Побудуємо обмежений на множині розв’язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Ейлера, Бесселя та Конторовича-Лєбєдєва для модифікованих функцій :

(1)

за крайовими умовами

( (2)

та умовами спряження

(3)

У рівності (1) беруть участь : 1) диференціальний оператор Ейлера 2) диференціальний оператор Бесселя 3) диференціальний оператор (Конторовича-Лєбєдєва)

Вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти:

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера ( утворюють функції та фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя утворюють модифіковані функції Бесселя та фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння (Конторовича-Лєбєдєва) утворюють модифіковані функції Бесселя та .

Наявність фундаментальної системи розв’язків дає можливість побудувати розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом функцій Коші

(4)

Тут - функції Коші :

(5)

(6)

(7)

У рівностях (5) – (7) беруть участь функції :

Всі інші функції загальноприйняті

Крайова умова в точці та умови спряження (3) для визначення п’яти величин дають неоднорідну алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

(8)

У системі (8) беруть участь функції

та символ Кронекера

Введемо до розгляду функцій :

Припустимо , що виконана умова однозначної розв’язності крайової задачі (1)–(3): для будь-якого ненульового вектора визначник алгебраїчної системи (1.8)відмінний від нуля

(9)

Визначимо головні розв’язки крайової задачі (1)–(3):

1) породжені крайового умовою в точці функції Гріна

(10)

2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

(11)

3) породжені неоднорідністю системи функції впливу

(12)

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (8) й підстановки одержаних значень та у формули (4) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1)–(3):

(13)

Побудуємо тепер розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом інтегрального перетворення, породженого на множині гібридним диференціальним оператором (ГДО)

(14)

де - одинична функція Гевісайда

Оскільки ГДО самоспряжений і на множині не має особливих точок, то його спектр дійсний та дискретний Спектральному параметру відповідає спектральна вектор-функція

(15)

При цьому функції повинні задовольняти однорідні диференціальні рівняння

(16)

крайові умови

(17)

та умови спряження

(18)

Тут

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера складають функції та фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя складають функції Бесселя та фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння (Конторовича – Лебедєва) складають функції та

В силу лінійності спектральної задачі Штурма – Ліувілля (15) – (17) функції побудуємо як лінійну комбінацію фундаментальної системи розв’язків :

(19)

Умова обмеження при вимагає

Крайова умова в точці та умови спряження (1.17) для визначення величин і дають однорідну алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

(20)

Функції, що беруть участь в системі (20), загальноприйняті

Введемо до розгляду функції:

Алгебраїчна система (20) має ненульові розв’язки тоді й тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю

(21)

Ми одержали трансцендентне рівняння для обчислення власних чисел ГДО визначеного рівністю (14).

Підставимо в систему (20) й відкинемо перше рівняння в системі в силу лінійної залежності. При для визначення одержуємо алгебраїчну систему з двох рівнянь:

(22)

Оскільки визначник системи (22)

то система (22) має єдиний розв’язок

(23)

При відомих для визначення маємо алгебраїчну систему з двох рівнянь:

(24)

Визначник алгебраїчної системи (24) обчислюється безпосередньо:

Алгебраїчна система (24) має єдиний розв’язок

(25)

Підставимо у рівності (19) величини та згідно формул (23) й (25). Одержимо функції:

(26)

Згідно рівності (15) спектральна вектор-функція визначена.

Визначимо числа

вагову функцію

(27)

та квадрат норми спектральної вектор-функції

(28)

Згідно з роботою сформулюємо твердження.

Теорема 1 (про дискретний спектр). Корені трансцендентного рівняння утворюють для ГДО дискретний спектр: дійсні, різні, симетричні відносно й на числовій піввісі складають монотонно зростаючу числову послідовність з єдиного граничною точкою

Теорема 2 (про дискретну функцію). Система власних функцій ортогональна на множині з ваговою функцією , повна й замкнена.

Теорема 3 (про зображення рядом Фур’є). Будь-яка вектор-функція зображується за системою абсолютно й рівномірно збіжним на множині рядом Фур’є:

(29)

Ряд Фур’є (29) визначає пряме та обернене скінченне гібридне інтегральне перетворення (СГІП), породжене на множині ГДО

(30)

(31)

Введемо до розгляду величини та функції:

Теорема 4 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція неперервна на множині , а функції задовольняють крайові умови (2) та умови спряження (3), то має місце основна тотожність СГІП ГДО , визначеного рівністю (14):

(32)

Правила (30), (31) та (32)складають математичний апарат для розв’язання крайової задачі (1)-(3).

Систему (1) запишемо в матричній формі:

(33)

Інтегральний оператор згідно правила (30) зобразимо у вигляді операторної матриці-рядка:

(34)

Застосуємо операторну матрицю-рядок (34) за правилом множення матриць до системи (33). Внаслідок основної тотожності (32) маємо алгебраїчне рівняння:

Звідси знаходимо, що функція

(35)

Оператор згідно правила (32) як обернений до (34) зобразимо у вигляді операторної матриці-стовпця:

(36)

Застосуємо операторну матрицю-стовпець (36) за правилами множення матриць до матриці-елемента , де функція визначена формулою (35). У результаті низки елементарних перетворень маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3):

(37)

Порівнюючи розв’язки (13) та (37) в силу теореми єдиності, одержуємо такі формули підсумовування функціональних рядів:

(38)

(39)

(40)

(41)

Функції Гріна визначені формулами (10), функції Гріна умов спряження визначені формулами (11), а функції впливу - формулами (12).

Зауваження 1. Якщо , то якщо то якщо то

Зауваження 2. Оскільки праві частини в рівностях (38) – (41) не залежать від нерівності то можна при потребі покласти

Підсумовуючи виконане дослідження,маємо твердження.

Основна теорема: Якщо вектор-функція задовольняє умови теореми про основну тотожність і виконується умова (9) однозначної розв’язності крайової задачі (1)–(3), то мають місце формули (38)–(41) підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами ГДО визначеного рівністю (14).

Список використаних джерел

1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.-М.:Физматгиз, 1959. - 468с.

2. Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. - Киев, 1983.-62с.-(Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3)

3. Ленюк М.П., Михалевська Г.І. Інтегральні перетворення типу Конторовича-Лєбєдєва.-Чернівці:Прут, 2002.-280с.

4. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс.-М.:Наука, 1965.- 328с.

5. Ленюк М.П. Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридних диференціальних операторів . Том VIII._Чернівці: Прут, 2011.-332с.

6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.- 432с.

7. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. _ Тернопіль: Економічна думка, 2004. – 368с.

8. Комаров Г.М. , Ленюк М.П. , Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку._ Чернівці: Прут, 2001.-228с.