Шилинец В. А., Горавская Н. Г.
Белорусский государственный педагогический университет
РЕШЕНИЕ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ F–МОНОГЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Как известно,
дифференциальные операторы (формальные производные) использовались рядом
авторов при исследовании уравнений в частных производных. В частности, И.Н.
Векуа [1] успешно применял эти операторы для исследования дифференциального
уравнения
Целью данного
исследования является решение с помощью функций, моногенных в смысле В. С.
Фёдорова (F-моногенных) [2,3], следующей системы
дифференциальных уравнений в формальных производных
(1)
где ––действительные или комплексные константы;
––односвязная область плоскости
;
––искомые комплексные функции класса
. Считаем
.
Введем замену , тогда система (1) примет вид:
(2)
где ––некоторые постоянные,
Если положить
, то система (2) редуцируется к виду
(3)
где .
Пусть 1
и
2
–– корни уравнения
(4)
Из (3),
очевидно, следует:
(5)
где
.
1o. ––
действительные. Полагаем
Имеем
Вводим
формальные производные [4]
Уравнение (5)
для примет вид
, откуда делаем вывод, что
––любая F–моногенная по функции
функция.
Аналогично: ––любая F–моногенная по функции
в области
функция. Из равенств
,
находим
и
.
2о. ––комплексные.
Положим
,
. Имеем
Вводим
формальные производные
Легко видеть,
что
Отсюда следует,
что уравнение (5) при равносильно уравнению
, а потому получим, что
–– F–моногенная
по функции
функция. Аналогично:
––функция, F–моногенная по функции
. Далее находим
и
.
3о. Имеем
, причем
. Отсюда
Первое уравнение
системы (3) примет вид ;
Отсюда а потому
где
––любая F–моногенная по
функция.
Задача решается
формулами и
.
Литература
1.
Векуа И. Н. Обобщенные
аналитические функции.– М.:ГИФМЛ, 1959.–628 с.
2.
Фёдоров В.С. Основные
свойства обобщенных моногенных функций // Известия вузов. Математика, 1958. – №
6. – С. 257-265.
3.
Стельмашук Н.Т., Шилинец
В.А. О преобразовании к каноническому виду системы линейных уравнений в частных
производных с помощью двойных дифференциальных операторов // Весці НАН Беларусі. Сер.
фіз.-мат. навук, 2008. – № 2. – С. 61-65.
4.
Гусев В.А. Об одном
обобщении ареолярных производных // Bul. Stiint. si tehnical inst. Pol. Timisoara, 1962. – T. 7, fasc. 2. – P. 223-238.