Попова Ю.И., Рахымбек Д.

Южно-Казахстанский государственный университет им.М.Ауезова

Роль интуиции в математическом творчестве

Движущей силой творческого процесса в математике является интуиция - особая способность мышления к неосознанным, свернутым умозаключениям, которые затем логически, дискурсивно необходимо развернуть. Разумеется, развернуть мы можем только само умозаключение, а не деятельность интуиции как таковую. Мы не можем алгоритмизировать ее, прежде всего потому, что она полностью скрыта в подсознании, и мы осознаем только ее результаты. Результатом работы математика вне зависимости от стиля мышления являются доказательные рассуждения. Но доказательство как процесс - опять же вне зависимости от стиля мышления - не обходится без участия и некоторых нерациональных моментов. А. Пуанкаре [2] и Ж. Адамар [1] в своих философско-математических исследованиях много внимания уделяли именно творческой стороне математического мышления. Сегодня под интуицией принято понимать способность мышления к непосредственным умозаключениям путем мысленного схватывания (“озарения”) без промежуточных обоснований и доказательств. По-видимому, ей принадлежит решающая роль в творчестве, поэтому остановимся на этом феномене и его роли в математическом открытии.

А. Пуанкаре как-то заметил: “… для того, чтобы создать геометрию или какую бы то ни было науку, нужно нечто другое, чем чистая логика. Для обозначения этого другого у нас нет иного слова, кроме слова “интуиция”. [2]

Возможности развития интуиции заключены не столько в содержании обучения, сколько в его методах, в специально ориентированной на это работе учителя. Подобная работа учителя должна быть поддержана соответствующей методической литературой, которой пока еще недостаточно.

Роль интуиции в математическом творчестве очевидна. Без ее участия невозможно ни одно хоть сколько-нибудь крупное математическое открытие. Вообще решение любой задачи, выходящей за рамки тавтологии, непременно содержит в себе интуитивный элемент. Его присутствие всегда психологически ощутимо, поскольку утверждение предшествует собственно доказательству. Учащийся сначала формулирует на основе результатов работы интуиции некоторый вывод, а затем его уже обосновывает на языке математической теории. Как правило, представленные в современных учебных пособиях задачи предполагают алгоритмический способ решения. В школе метод решения задачи обычно предопределен разделом, в котором она помещена, что неизбежно при систематическом прохождении курса. Это в значительной степени сужает операционное и информационное поле деятельности учащихся.

Однако, учащихся привлекают задачи определенного жанра, в специальной литературе обозначенные различными терминами: проблемные, творческие, поисковые, эвристические, занимательные, то есть задачи, способ решения которых не находится в распоряжении решающего. Подобные задачи можно назвать нестандартными задачами. В процессе обучения математике решение подобных задач является одним из эффективных приемов, способных пробудить у учащихся живой интерес к предмету, приобщить их к тому виду деятельности, который называют исследовательским.

А. Пуанкаре [2] пришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимает умение логически выстроить цепь операций, которые приведут к решению задачи. Казалось бы, это должно быть доступно любому способному логически мыслить человеку. Однако далеко не каждый оказывается способным оперировать математическими символами с той же легкостью, что и при решении логических задач.

Для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание. По мнению Пуанкаре, людей, способных к математике, отличает умение уловить порядок, в котором должны быть расположены элементы, необходимые для математического доказательства. Наличие интуиции такого рода - есть основной элемент математического творчества.

Здесь речь идет о математическом творчестве, доступном немногим. Но, как писал Ж.Адамар, "между работой ученика, решающего задачу по алгебре или геометрии, и творческой работой разница лишь в уровне, в качестве, так как обе работы аналогичного характера" [1].

Решая нестандартные задачи, способ решения которых учащемуся неизвестен, либо для решения которой в курсе математики не содержится правила, определяющего ход ее решения ставят учащегося в ситуацию, требующую для своего разрешения гибкости мышления, выработки новых способов действий, изобретательности, интуиции. Подобные задачи формируют у школьников способность к самостоятельным обобщениям, к осмысленному использованию (в качестве методов познания) опыта, наблюдения, сравнения и конкретизации. В ходе решения подобных задач учитель развивает у учащихся способность к проведению рассуждений (к умозаключениям) индуктивного и дедуктивного характера; способность широко использовать догадку (умозаключение по интуиции) с последующей ее проверкой (опровержением или обоснованием сделанного по догадке вывода).

Важно отметить класс задач, способствующий развитию интуиции в курсе алгебры и начал анализа. Это задачи на составление уравнений, решение рациональных уравнений, разложение многочленов на множители. Необходимость как-то обозреть множество соответствующих объектов, отсутствие стандартного алгоритма делают эти задачи, простые по существу, порой отнюдь не простыми в психологическом плане. Приведение подобных примеров – в определенной мере творческий акт, требующий активной работы мышления, воображения, фантазии.

Приведем некоторые примеры, поиск решения которых предполагает использование математической интуиции.

Пример 1. Решить уравнение [3].

Поиски решения. Приведение всех дробей, стоящих в левой части уравнения, к общему знаменателю потребует выполнения громоздких преобразований и приведет к решению уравнения пятой степени. Поэтому возникает желание искать более удобный способ решения. Здесь на помощь нам приходит интуиция. Для этого надо использовать особенности данного уравнения. В нем числители дробей попарно одинаковы, а знаменатели каждой такой пары содержат после их преобразований одно и то же выражение . Тут интуиция подсказывает нам, что необходимо сгруппировать дроби, у которых числители одинаковые.

Решение. Перепишем данное уравнение последовательно в следующих видах:

Отсюда сразу обнаруживается один корень (при ни один их знаменателей не обращается в нуль).

Для нахождения остальных корней надо решить уравнение

.

Здесь мы можем заметить, что каждая дробь содержит в знаменателе выражение . Полагая , получим:

.

Это уравнение приводится к квадратному уравнению . Решив его, найдем, что .

Теперь из уравнения и уравнения находятся остальные четыре корня:

.

Таким образом, мы нашли все пять корней заданного уравнения.

Пример 2. Мне в данный момент вдвое больше лет, чем моему брату было тогда, когда мне было столько лет, сколько ему теперь, тогда сумма моему брату будет столько лет, сколько мне теперь, тогда сумма наших возрастов будет равна 63 годам. Сколько лет каждому из нас в данный момент? [3]

Поиски решения. Условия данной задачи трудно запоминаемы. Взаимосвязи между величинами, фигурирующими в задаче, довольно сложно переплетаются. Может показаться, что решить эту задачу будто бы нелегко. Но и тут к нам на помощь приходит интуиция. Чтобы проще преодолеть эти кажущиеся трудности, стоит изобразить величины, фигурирующие в задаче, на числовой оси. Благодаря этому будет достигнута некоторая наглядность, облегчающая процесс составления уравнений.

Решение. Пусть в данный момент младшему брату х, а старшему y лет.

Разность между возрастом старшего и возрастом младшего равна годам. Следовательно, старшему было х лет, то есть столько лет, сколько младшему сейчас, ровно лет тому назад. Но тому назад младшему было , то есть лет. По условию задачи

.

Младшему брату станет y лет через лет. В это время старшему будет уже , то есть лет. По условию задачи

Решив систему

Найдем, что x=21, y=28.

В заключение подчеркнём, что для развития математической интуиции учащихся особенно полезны задания, предполагающие решение в уме, без длинных выкладок. Поэтому необходим большой набор разнообразных простых вопросов, ответы на которые требуют размышления, неформального анализа, прикидок, сравнений, догадок, а не поиска в памяти известного алгоритма решения знакомого класса задач.

Литература

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М.: Советское радио, 1970.

2. Пуанкаре А. О науке: Пер. с фр./ Под ред. Л.С.Понтрягина.-2-е изд. М.: Наука, 1990.

3. Туманов С.И. Поиски решения задачи. – М.: Просвещение, 1969.