К.т.н. Макаренко
Н.Б.
Днепропетровский национальный университет, Украина
Идентификация областей дефектов в тонкостенных телах
Проблема технической
диагностики состоит в идентификации физических и геометрических параметров
реальной системы с помощью измерений откликов исследуемой системы на внешнее
воздействие. Решение такой задачи связано с получением обратного оператора для
краевой задачи теории упругости, что приводит при численной реализации к непреодолимым
трудностям, определяемым, в первую очередь, плохой обусловленностью задачи.
Известные методы регуляризации, используемые непосредственно при решении
вариационной задачи, трудоемки и малоэффективны при решении высокоразмерных задач,
какими являются задачи теории упругости для неоднородных или поврежденных
систем. Кроме того, указанные решения не дают информации об эффективных точках
сравнения (точки, где проводятся измерения) и наиболее информативных параметрах
модели.
Предлагается
идентифицировать параметры повреждений в результате решения обратной задачи,
принимая во внимание данные косвенных измерений.
Рассматривается система, функция состояния
которой в ограниченной пространственной области где
– вектор пространственных
координат, определяется соотношениями
(1)
Здесь – вектор функций
состояния (перемещений),
– внутренние и граничные контуры области
,
,
– заданные
дифференциальные операторы, H – функции, характеризующие повреждения или
дефекты. Кроме того, задана вектор-функция
и её значения
, которые определяются путем косвенных измерений. Необходимо
при заданных
определить значения
функций H так, чтобы удовлетворялось условие
(2)
либо
где – значения вектор-функции,
полученные в результате решения задачи (1). Для решения прямой задачи (1)
вводится сетка с координатами узлов
и соответствующими
значениями функции
; для дискретного описания вектор-функции
в точках наблюдения
вводится сетка с координатами узлов
из числа
(R – область
определения) и значениями функции
; описание параметров модели j-го дефекта (повреждения) осуществляется
введением логической функции
в зависимости от его
вида как описание замкнутой границы
области дефекта
, на которой заданы соответствующие граничные условия: а)
свободного края (при сквозном повреждении или трещине), при этом область
пуста
; б) совместности перемещений и деформаций границы
области дефекта
и соответствующей
границы
неповрежденной части
области
, при изменении распределенных свойств системы, например,
характерного размера или модуля упругости, определяемых компонентами вектора H
(
). Дискретизация границы
задается замкнутой
ломаной линией с координатами узлов
, где
– число узлов
ломаной,
– область определения
векторов
. Вектор
определим как вектор
параметров, описывающих границу
области в виде
, область
зададим значениями
компонентов вектора
, где
– значения
соответствующих t-тых параметров дефекта внутри области
. Отметим, что для сквозного повреждения
. При этом предполагается, что область
дискретизирована с
помощью сетки с координатами узлов
где
– множество узлов
сетки
, находящихся внутри и на границе области
. Условия (2) в дискретной постановке приобретают вид:
(3)
или
. (4)
Решение уравнения
(4) включает в себя выбор оптимальной аппроксимации границы , т.е. выбор числа
вершин ломаной и
набора
, описывающих границу дефекта, выбор
наиболее
информативных наблюдений из числа P
возможных с номерами точек сравнения
, где
– область определения
векторов
, и определение вектора H.
Для решения уравнений (4) используем алгоритм метода Ньютона:
, (5)
где n – номер
итерации или наблюдения (индекс g опущен). Для построения
матрицы А используется матрица
чувствительности , где p, s –
соответственно номера точек измерений (
) и номера компонентов вектора H, определяемые
множеством возможных параметров модели повреждения (
). Число
, соответствующее количеству точек сравнения, выбранных из
возможно измеряемых, и равное числу неизвестных компонентов вектора H, должно удовлетворять условию
, т.к. в общем случае матрица
плохо обусловлена и
возможно выполнение условия
, где
– размерность матрицы
чувствительности. Так как критерий (4) задан неявно, то матрица
может быть построена
численно с помощью разностного аналога
, где Δ+(H,e)={Δ(H+e×e1),…, Δ(H+e×ep)}, Δ–(H,e)={Δ(H–e×e1),…, Δ(H–e×ep)}; e – малое приращение; ej – базисные векторы: e1=(1,0,…,0); e2=(0,1,…,0); …; ep=(0,0,…,1). Соотношение (5)
в виде системы линейных уравнений относительно
– вектора приращений
на n-м шаге вычислений
.
(6)
Таким образом,
оказывается возможным применение идентификационно-инверсного метода [1], с
помощью которого и были проведены расчеты. Было установлено, что при наличии
близко расположенных дефектов их идентификацию удается провести только путем
специального подбора значения или получая огибающую
области дефекта.
Литература:
1. Ободан Н.И., Макаренко Н.Б. Идентификационно-инверсный метод диагностики повреждений
// Зб. наук. праць “Методи розв’язування прикладних задач механіки деформівного
твердого тіла”.– Наука і освіта.– Дніпропетровськ.– 2006.– №7.– С. 81–88.