Ш.А. БАЛГИМБАЕВА
Институт Математики, г.
Алматы
ОЦЕНКИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ПО ИНФОРМАЦИИ О СПЕКТРЕ
Напомним общую
постановку задачи восстановления. Пусть - некоторое множество
в векторном пространстве
. Про каждый элемент
мы располагаем
информацией
, где
- (однозначное)отображение (называемое информационным) из
в другое векторное
пространство
. Информация об элементах из
может быть задана
неточно, и потому
, вообще говоря, - многозначное отображение. Пусть, далее
- нормированное
пространство и
- линейный оператор.
Задача заключается в
том, чтобы восстановить по возможности наилучшим образом оператор на классе
в метрике
пространства
по имеющейся информации
. Любое отображение
будем называть
методом восстановления. Погрешностью этого метода называется величина
.
Задаче о приближении (вообще говоря
неограниченного) оператора ограниченными линейными операторами на классах
функций (задаче Стечкина С.Б. ) и
родственным экстремальным задачам посвящено много работ. Отметим лишь, что
ранее подробно исследовано наилучшее приближение операторов, инвариантных
относительно сдвига в пространствах . Оператор дифференцирования
также является инвариантным относительно
сдвига.
Введем некоторые
обозначения. Пусть - множества
натуральных, целых, вещественных чисел соответственно;
- множество всех неотрицательных целых чисел,
- n-мерное евклидово
пространство. Для
,
, как обычно,
- скалярное произведение. Для мультииндекса
через
обозначим его длину. Обозначим
.
Запись означает, что
существуют константы
.
Пусть - пространства Шварца
всех бесконечно дифференцируемых быстроубывающих комплекснозначных функций и медленно растущих распределений (обобщенных
функций) на
соответственно,
- пространство бесконечно дифференцируемых функций
с компактным носителем в
.
Преобразование Фурье
обобщенной функции обозначим через
. В частности, если
, то
.
Известно, что представляет собой изоморфизм
и
на себя.
Обратное преобразование
Фурье обозначим через .
Для рассмотрим сужение
на
как сужение обобщенной
функции, т.е. как линейный непрерывный
функционал над пространством
.Обозначим данное сужение через
.
Определение 1.
Пусть . Тогда как обычно
имеем
.
Определим пространства
Никольского - Бесова (см., например, [1, 2]).
Определение 2. Функция принадлежит пространству
,
, если
и для нее конечна полунорма (
)
.
При этом полагаем .
Здесь - оператор m-й разности по
-й переменной.
Нами рассматривается задача
восстановления оператора дифференцирования
в пространстве Никольского – Бесова
.
В качестве информации о
функциях используется сужение преобразования Фурье
. Таким образом, предполагаются известными значения функционала
на любых функциях из
.
Отметим, что задача
оптимального восстановления операторов на функциональных классах на основе информации
о спектре рассматривалась в [3]. А именно, рассматривается задача оптимального восстановления
функций и их производных по информации о
спектре
Известно, что для любой
обобщенной функции ее разложение в ряд
Фурье по всплескам Мейера сходится к
в топологии
.
В качестве (линейного)
метода приближенного восстановления оператора , использующего информацию
о функции
, будем рассматривать
специальную «частную» сумму ее
разложения в ряд по всплескам Мейера.
Сформулируем некоторые
известные факты, которые использованы в
работе.
1. Как известно ([1],
стр. 295), функция
называется
ядром Дирихле порядка в n-мерном
непериодическом случае.
Ее преобразование Фурье
имеет вид
.
Отметим, что обладает следующими
свойствами, которые будут использованы ниже.
1) - целая функция
экспоненциального типа
по каждой переменной
, принадлежит
.
2) Свертка
для есть целая функция
экспоненциального типа
по каждой переменной
и принадлежит
.
При этом
,
где зависит только от
и от
.
3) слабо при
.
Тогда регулярную в
смысле функцию
можно разложить в
(слабо сходящийся) ряд
.
Верна теорема (см. [1])
Теорема А. Пусть - произвольное
действительное число.
тогда и только тогда,
когда
регулярна в смысле
и ее (сходящийся к ней слабо) ряд
,
где ,
таков, что
.
(с естественной метрикой при .)
2. Определим кратную
систему одномерных всплесков Мейера (см., например, [4] или [5]).
Пусть - нечетная бесконечно
дифференцируемая функция
- четная функция,
такая что
Преобразование Фурье масштабной
функции Мейера определяется как
откуда
.
Тогда
.
С помощью операций
сдвига и растяжения определяем функции
.
Из определения видно,
что
.
Ясно также, что всплески
Мейера – это целые функции экспоненциального типа, принадлежащие .
Теперь введем -мерную систему всплесков Мейера
следующим образом:
;
здесь пробегает все непустые
подмножества множества
,
.
Известно, что система всплесков
образует
безусловный базис в пространстве
(см., например, [5]).
Верна теорема (см. [6])
Теорема В . Для любой ограниченной целой
функции экспоненциального типа
справедливо
соотношение
.
Здесь - проекционный оператор
на подпространство
.
В качестве метода
приближенного восстановления оператора рассмотрим следующий
оператор
:
,
где
- коэффициенты Фурье по системе
, а
.
По
формуле Планшереля для любых :
.
Из определения следует, что ; ясно также, что
,
.
Таким образом, метод использует
информацию только о
.
Основной результат настоящей статьи содержится в
следующей теореме.
Теорема. Пусть ,
,
, причем
,
где
,
- мультииндекс. Тогда для
метода восстановления
справедливы оценки:
Доказательство.
Приведем схему получения оценки сверху. Выше
через
мы обозначили действие оператора
дифференцирования на специальную «частную» сумму разложения в ряд по всплескам Мейера. Далее, для краткости будем
обозначать . Тогда имеем
Рассмотрим норму разности , где
- банахово пространство.
Используя линейность операторов
и применяя теорему B
для
- целой
функции экспоненциального типа
, на которой реализуется
наилучшее приближение функции
, получим:
Пусть .
Функция
, следовательно по теореме А справедливо представление
.
Очевидно, что
, где
. Теперь, используя эквивалентную
нормировку, приведенную в теореме А и
неравенство Бернштейна, получим оценку
.
Таким образом, оценка сверху получена.
При получении оценок снизу строятся
"плохие" функции из
единичного шара пространства ,
на которых реализуется порядок, комбинированием
теоремы представления A и теоремы B.
1.
Никольский
С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.,Наука., 1997.
456с.
2.
Трибель
Х. Теория функциональных пространств. М., Мир., 1986. 448с.
3.
Магарил-Ильяев
Г.Г., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по
приближенной информации о спектре и неравенства для производных// Функциональный
анализ и его приложения. 2003. Т.37. вып.3. с.51-64.
4.
Meyer Y. Wavelets and operators.
Cambridge
Univ. Press, 1992.
5.
Стечкин
С.Б., Новиков И.Я. Основы теории
всплесков// Успехи мат. наук. 1998. Т.53. вып.6(324). с. 54-128.
6. Новиков И.Я. Онделетты
И.Мейера – оптимальный базис в //
Мат. заметки. 1992. Т.52. вып.5. с. 88-92.