Математика/ 5. Математическое моделирование

К.ф.-м.н. Искакова А.С.

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Казахстан

Об одном методе определения несмещенных оценок вероятностей процессов искажений излучений по данным дистанционного зондирования

Одной из характерных особенностей поставленных перед Астанинским филиалом АО "НЦКИТ" центра космического мониторинга является регулярный прием и запись входного потока данных дистанционного зондирования земли с космических аппаратов IRS-1C, IRS-1D, IRS-P6, RADARSAT, AQUA находящихся в зоне радиовидимости.

Дистанционное зондирование (ДЗ) можно представить как процесс, посредством которого собирается информация об объекте, территории или явлении без непосредственного контакта с ним. Часть данных ДЗ сразу поступает в цифровом виде, что позволяет непосредственно использовать для их обработки современные компьютерные технологии. Снимки на фотоносителях могут быть преобразованы в цифровую растровую форму представления с помощью специальных сканирующих устройств (сканеров). Цифровое изображение в форме растра представляет из себя матрицу чисел.

ДЗ содержат целый ряд случайных, системных и систематических искажений, связанных с влиянием атмосферы, кривизны Земли, движения съемочного аппарата относительно ее поверхности в момент съемки, физическими характеристиками используемых датчиков и каналов связи. Для устранения упомянутых, довольно многочисленных искажений, с учетом их специфики, используется коррекция нескольких видов: радиационная, радиометрическая, геометрическая и калибровка.

Рассмотрим вероятностную модель процессов искажений излучений по данным дистанционного зондирования. То есть определим оценку вероятности появления искажений. В работе [1] приведена вероятностно-статистическая вероятности оправдываемости метеорологического прогноза.

Как было ранее указано, что цифровое изображение в форме растра представляет из себя матрицу чисел х, связанных с влиянием атмосферы, кривизны Земли, движения съемочного аппарата относительно ее поверхности в момент съемки, физическими характеристиками используемых датчиков и каналов связи. Иными словами на искажение влияют четыре фактора, то есть n=4. Допустим, что истинное изображение представимо в виде матрицы l₀, на которые наложили искажение u, состоящее их четырех факторов (матриц) искажений, принимающие значения из множества l₁, l₂,…, l_d.

Очевидно, что факторы (матрицы) искажения l₁, l₂,…, l_d являются реализациями случайных матриц L₁, ... , L_d, которые проявляются с оответствующими вероятностями p=(p₁, … , p_d), причем Обозначим через V_u число разбиений матрицы u на матрицы L₁, ... , L_d. Иными словами, V_u представляет количество решений следующей системы уравнений

где для каждого v_u = 1, …, V_u элементы вектора ( r_1νu , …, r_dνu), элементы которого принимают значения от 0 до 4.

Предложение. Вероятность того, что искажение значение u определяется по формуле

(1)

На практике, как правило, элементы вектора р = (р₁ , ... , р_d ) не известны. Также не известны матрицы L₁, ... , L_d. Следовательно, формула (1) не находит фактического применения.

Допустим, что имеются снимки в количестве k определенной местности с искажениями х = {х₁, ... ,х_k}. Иначе говоря, ряд фактических данных х можно трактовать как реализацию выборки объема k, элементы которой подчиняются распределению (1).

Обозначим через r_vβ вектор (r_{1v β}, …, r_{dv β} ), который определяет v_β – ое решение системы уравнения

(2)

v_β =1, …, V_β, где V_β – число разбиений матрицы х_b на матрицы L₁, ... , L_d. Используя решения системы уравнений (2), матрицы L₁, ... , L_d и фактические данные х, определим для каждого β=1, ..., k число разбиений V_β матрицы х_β на L₁, ..., L_d и векторы r_1β , …, r_vβ . Пусть, при j=1, ..., μ, где вектор z_j =(z_1j , …, z_dj ) представляет решение, основанное на наблюдении, которое имеет следующий вид .

Теорема 1. Элементы множества W(u, z)={W(u, z₁), …, W(u, z_μ)} являются несмещенными оценками для вероятности P(U=u) распределения (1), которые при j=1, …, μ определяются как

(3)

где V_u –число разбиений матрицы u на части L₁,…, L_d; для каждого разбиения r_1vu,…, r_dvu определяют возможное количество матрицами L₁, …, L_d; k≥1 и z_αj≥r_αvu, при α=1, …, d, v_u=1, …, V_u.

Итак, имеем множество несмещенных оценок вероятности проявлений искажений. Наиболее подходящая несмещенная оценка W(u, z_g) для вероятности оправдываемости метеорологического прогноза u P(U=u) распределения (1) определяется из всего множества полученных несмещенных оценок W(u, z)={ W(u, z₁), …, W(u, z_m)}, согласно определениям.

Определение 1. Решение z_g, основанное на наблюдении, является наиболее подходящим из множества z={z₁, … , z_m}, если

(4)

где при i=1, … , k элементы множества W(x_i, z)={ W(x_i, z₁), … , W(x_i, z_m)}

являются несмещенными оценками для вероятности P(U=u) распределения (1), определенными в (3).

Определение 2. Несмещенная оценка W(u, z_g) для вероятности P(U=u) распределения (1) является наиболее подходящей из всего множества несмещенных оценок W(u, z)={ W(u, z₁), … , W(u, z_m)}, определяемых в (4), если z_g – наиболее подходящее решение, основанное на наблюдении.

Теорема 2. Наиболее подходящая несмещенная оценка W(u, z_g) для вероятности P(U=u) модели (1) является состоятельной, асимптотически нормальной и асимптотически эффективной.

Литература:

1. Искакова А.С. Определение наиболее подходящей несмещенной оценки вероятности оправдываемости прогноза в метеорологии. // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002 г.Том V, 1(9). С.79-84.

2. И.Лисов. Искусственные спутники Земли. // Новости космонавтики, № 01, 1996.