Дисперсный анализ среды сложного состава

А.В. Грачев, Д.М. Попов, С.Д. Руднев

Основным критерием качества дисперсной среды принято считать средний размер ее частиц. Но средний размер не является исчерпывающим критерием, т.к. может быть одинаков у проб, содержащих различное количество стандартных фракций, и размеры минимальных и максимальных частиц в пробах будут значительно отличаться. В связи с этим, не менее важным является гранулометрический состав и распределительная функция, его описывающая. На их основе осуществляют дисперсионный анализ. Это статистический метод, позволяющий анализировать влияние различных факторов на исследуемую переменную. Целью дисперсионного анализа является проверка значимости различия между средними с помощью сравнения дисперсий. Дисперсию измеряемого признака разлагают на независимые слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействия. Последующее сравнение таких слагаемых позволяет оценить значимость каждого изучаемого фактора, а также их комбинации [1]. При истинности нулевой гипотезы (о равенстве средних в нескольких группах наблюдений, выбранных из генеральной совокупности), оценка дисперсии, связанной с внутригрупповой изменчивостью, должна быть близкой к оценке межгрупповой дисперсии. При проведении исследований часто встает вопрос о сопоставимости результатов. Сопоставлять отдельные показатели не имеет смысла и поэтому процедура сравнения и последующей оценки производится по некоторым усредненным значениям и отклонениям от этой усредненной оценки. Изучается вариация признака. За меру вариации может быть принята дисперсия. Дисперсия σ2 – мера вариации, определяемая как средняя из отклонений признака, возведенных в квадрат. Иногда дисперсионный анализ применяется, чтобы установить однородность нескольких совокупностей (дисперсии этих совокупностей одинаковы по предположению; если дисперсионный анализ покажет, что и математические ожидания одинаковы, то в этом смысле совокупности однородны). Однородные же совокупности можно объединить в одну и тем самым получить о ней более полную информацию, следовательно, и более надежные выводы [2]. В практике исследований часто встречаются дисперсные системы сложного гранулометрического состава, например при анализе результатов селективной дезинтеграции растительного сырья.

Рассмотрим методику оценки дисперсной среды, когда измеряемый признак (в нашем случае – размер частиц) имеет более одной моды в гистограмме и большую дисперсию. А.Н. Колмогоровым показано [3], что всякий продукт дробления может быть описан логарифмически нормальным законом распределения. Более поздние исследования утверждают [4; 5], что если достаточно долго измельчать порцию сыпучего материала, то функция распределения его частиц по размерам максимально приближается к нормальному закону распределения Гаусса.

Согласно нормальному закону распределения Гаусса, можно считать, что практически все частицы (99,7%) имеют размеры в диапазоне ( - средний размер ее частиц, - среднеквадратичное отклонение размера частиц).

Представим в общем виде, что в результате работы двух измельчителей один и тот же исходный сыпучий материал разрушается по-разному, т.е. средний размер сыпучей среды соответствует заданным технологическим требованиям, а среднеквадратичные отклонения различны. В результате, измельчитель I производит сыпучий материал, полностью соответствующий технологии. Сыпучий продукт, полученный измельчителем II, не соответствует регламентируемому отклонению. Частицы сыпучей смеси, размеры которых превышают должны быть удалены каким-либо способом разделения и подвергнуты повторному разрушению, что влечёт за собой дополнительные производственные затраты. Частицы, размеры которых меньше являются переизмельчёнными, не соответствующими технологическим требованиям и их необходимо удалить, таким образом, эта часть продукта измельчения является браком, необратимыми потерями.

На практике крайне редко измельченная дисперсная среда соответствует нормальному, симметричному относительно целевой фракции, закону распределения. В измельченном материале будет присутствовать доля недоизмельченного и переизмельченного материала. Рассматривая отношения площади под функциями распределения недоизмельченного и переизмельченного материала к площади под функцией измельченного материала, соответствуещего технологическим требованиям введем критерий товароведной оценки сыпучего материала ,где B - доля сыпучего материала, частицы которой не соответствуют регламентированному размеру .

Предлагается следующая методика оценки качества сыпучей среды.

1. Проводится разделение пробы дисперсной среды на фракции, определяется дисперсный (гранулометрический) состав.

2. Находятся плотности распределения вероятности для каждой фракции отношением ее доли в пробе к диапазону фракции (разности между верхней и нижней границами), строится кривая распределения - дифференциальная характеристика функции распределения.

3. По заданному среднему размеру и допускаемому отклонению от номинала строится график плотности вероятности нормального закона распределения.

4. Определяется интегральный критерий соответствия сыпучего материала требуемому качеству выражением , где - площади условных прямоугольных треугольников, вершины прямых углов которых являются абсциссами верхнего и нижнего предельного отклонения размеров от номинала, а гипотенузы – спрямленные линии кривой распределения, не попавшие в заданный диапазон. При полном соответствии качеству .

5. Определяется дифференциальный критерий соответствия распределительной функции пробы сыпучей среды нормальному закону распределения выражением

,

где – число фракций; и - плотности вероятностей для нормального закона и реального распределения для i-й фракции соответственно.

Очевидно, что при идеальном совпадении, при полном несоответствии . Если величину выражать в процентах, то она будет характеризовать процентное расхождение реального закона распределения от нормального, соответствующего наилучшему качеству сыпучего материала.

Если проводится селективная дезинтеграция [6, 7], то результатом всегда является дисперсная среда, имеющая бимодальную (как минимум) характеристику функции распределения частиц по размерам. Оценку качества дезинтеграции, кроме предложенных выше критериев, следует проводить и по разделяемости компонентов смеси по фракционному составу. При условии, что вариация любого признака, в нашем случае – распределение размеров частиц, подчиняется нормальному закону, получим, что весь диапазон изменения признака лежит в пределах от до . Рассчитав значения этих параметров вариационных рядов для каждого из компонентов смеси, определим наличие промежутка Δ между ними. Параметр Δ можно назвать критерием селективности дезинтеграции. При Δ > 0 имеем полностью делимую смесь, при Δ < 0 смесь не может быть полностью разделена по данному признаку, то есть, положительный критерий характеризует высокое качество процесса. Очевидно, величина Δ определяется выражением: , где индекс – это номер компонента .

Предлагаемые критерии позволят не только оценивать качество сыпучих сред, но и работу оборудования для получения сыпучих материалов. Так, например, если график распределительной функции сдвинут вправо от моды нормального закона (правоассиметричен), то необходимо повысить количество энергии, подводимой к материалу; если график левоассиметричен, то наоборот - понизить. Пофракционное отклонение распределительной функции от нормального закона распределения дает возможность детально проанализировать особенности разрушения материала, связать фракционный состав с морфологическими, прочностными особенностями перерабатываемого материала и произвести точную настройку оборудования с целью получения максимально высокого качества процесса.

В тоже время использование нормального распределения в диапазонах малых значений размеров нежелательно вследствие того, что оно допускает отрицательное значение распределенной величины, что является недопустимым при расчетах. Например, возможна ситуация когда при относительно небольшом среднем размере измельченного материала часть распределения будет расположена в отрицательной области. Поэтому, на наш взгляд необходимо использовать другие функции распределения, ограниченной снизу, например, распределение Вейбулла.

Критериями качества сыпучего продукта предлагается считать не только его средний номинальный размер, но и критерии соответствия: дифференциальный К и интегральный С, а также критерий селективности дезинтеграции. Предлагаемые критерии помогут не только оценить качество, но и при известной кинетике их изменения прогнозировать возможное качество при определенных управляемых параметрах того или иного технологического процесса получения дисперсной среды заданного качества.

Литература:

1. Кремер Н.Ш. Теория вероятности и математическая статистика. М.: Юнити - Дана, 2002.-343с.

2.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2003.-523с.

3. Колмогоров А.Н. О логарифмически нормальном законе распределения размеров частиц при дроблении: Докл. АН СССР. 1941. Т.31, № 2. С. 99.

4. Гарднер Р.П., Аустин Л.Г. Исследование измельчения в мельнице периодического действия // Труды Ев-ропейского совещания по измельчению. М.: Стройиздат, 1966. С. 219 – 248.

5. Смирнов Н.М., Блиничев В.Н., Стрельцов В.В. Расчёт гранулометрического состава продуктов помола в одноступенчатой мельнице ударно-отражательного действия. Иваново, 1976. 10 с. Деп в ВИНИТИ 10.11.76, № 3942 – 76.

6. Руднев С.Д., Павский В.А., Рыбина О.Е. О физической сущности селективного разрушения сырья растительного происхождения // Технология и техника пищевых производств: сб. науч. работ. Кемерово: КемТИПП, 2004. С. 209-213.

7. Руднев С.Д. Селективная дезинтеграция растительного сырья: монография. Кемерово: КемТИПП, 2010. 294 с.