Сельское хозяйство/4. Технологии хранения и
переработки сельскохозяйственной продукции

Д.т.н. Лобасенко Б.А., к.ф.-м.н. Семенов А.Г.

Кемеровский технологический институт пищевой промышленности,
Россия

Концентрационная поляризация на мембранах с неполной селективностью при тангенциальной ультрафильтрации белковых растворов

 

Мембранная ультрафильтрация широко применяется в молочной промышленности для выделения и концентрирования молочных и сывороточных белков [1]. Проектирование и оптимизация мембранного оборудования требуют создания надежных математических моделей, адекватно описывающих явления, происходящие в растворе и на мембранах. Прежде всего, речь идет о концентрационной поляризации и связанном с нею загрязнении поверхности мембран.

Большинство моделей развития поляризации при ультрафильтрации растворов высокомолекулярных соединений (ВМС) опираются на допущение об идеальной селективности мембран, т. е., о полном удержании отделяемого вещества. В реальных ситуациях мембраны пропускают часть ВМС, теряемого с фильтратом. Необходимо понять, как это обстоятельство влияет на развитие поляризации и загрязнений мембранной поверхности.

Предлагаемая математическая модель описывает развитие поляризации в трубчатой мембране с неполной селективностью. Рассматривается процесс тангенциальной ультрафильтрации раствора ВМС с концентрацией ср через трубчатую мембрану радиусом R. Селективность мембраны характеризуется коэффициентом селективности

                                                                                         (1)

где cw – концентрация раствора на поверхности мембраны, сф – концентрация ВМС в фильтрате. При идеальной селективности s=1, при неполном удержании ВМС s<1.

В основу модели положены следующие допущения:

1.       Движение раствора по трубчатому каналу мембраны происходит в ламинарном режиме. Профиль тангенциальной скорости u(r) описывается формулой Хагена-Пуазейля

                                                                         (2)

где r – радиальная координата, отсчитываемая от оси канала, Ucp – средняя скорость движения раствора. Гидродинамический начальный участок не учитывается.

2.       Возникающий на поверхности концентрационный пограничный (поляризационный) слой имеет малую толщину по сравнению с радиусом канала. Концентрация за пределами поляризационного слоя неизменна и равна ср.

Для приближенного анализа массообмена в поляризационном слое использован метод Польгаузена [2], позволяющий получить простые оценки параметров процесса. В его основе лежат введение конечной толщины пограничных слоев, полиномиальная аппроксимация профилей скорости и концентрации в них и переход от дифференциальных уравнений гидродинамики и массообмена к интегральным. Интегрирование уравнения конвективной диффузии (в силу допущения 2 его можно записать для плоской поверхности)

                                                                       (3)

совместно с уравнением неразрывности и граничным условием для концентрации

,                                                                         (4)

вытекающим из баланса потоков ВМС в растворе и в мембране с учетом (1), приводит к интегральному уравнению

                                            (5)

где координата y = R – r отсчитывается от поверхности мембраны, J – нормальная к поверхности мембраны компонента скорости раствора, полагаемая неизменной по длине мембраны. Эта величина определяется объемом фильтрата, проходящего через мембрану за единицу времени, т.е., характеризует производительность мембраны по фильтрату.

Для анализа уравнения в общем виде запишем его в безразмерной форме с помощью переменных

,             (6)

где d(х) – толщина поляризационного слоя; х – продольная координата, отсчитываемая от входа в канал; PeD =2UcpR/D – диффузионное число Пекле (D – коэффициент диффузии ВМС в растворе). В соответствии с идеями метода Польгаузена профили скорости и концентрации в поляризационном слое аппроксимируем выражениями

,                                                         (7)

где qw(x) – безразмерная концентрация на поверхности мембраны. Линейная аппроксимация профиля скорости получена из (2) с учетом допущения о малой толщине поляризационного слоя.

Подставляя (6,7) в уравнение (5) получаем

,                                    (7)

где переменная p(x) = Jd/D выражает в безразмерной форме толщину поляризационного слоя.

Если записать граничное условие (4) в безразмерной форме, используя переменные (6), то, с учетом выражения профиля концентрации (7), можно определить с его помощью связь переменных qw(x) и p(x):

                                                                                     (8)

После подстановки этого выражения в (7) и вычисления интеграла получается дифференциальное уравнение для определения безразмерной толщины поляризационного слоя

                                                                    (9)

Начальное условие к нему имеет вид: p=0 при x=0. Уравнение является универсальным, т.е., не содержит параметров подобия, кроме коэффициента селективности и имеет один и тот же вид для трубчатых мембран при различных геометрических параметрах, скоростях течения (в рамках ламинарного режима), концентрациях и свойствах ВМС. Поэтому его решение можно провести один раз и использовать впоследствии для анализа различных мембранных модулей. Результаты численного решения уравнения (9) с достаточной точностью аппроксимируются формулами

                                       (10)

Расчет по приведенным формулам показывает, что уменьшение коэффициента селективности мембраны от 0,9 до 0,5 весьма слабо отражается на изменении толщины поляризационного слоя, однако приводит к существенному уменьшению поверхностных концентраций ВМС (рис. 1).

Если предположить, что загрязнение мембраны связано с появлением на ее поверхности слоя геля ВМС, образующегося при достижении раствором определенной концентрации qg, то можно сделать вывод, что на мембранах с неполной селективностью точка начала гелеобразования сдвигается вниз по течению. При низкой селективности мембраны гелеобразование на большей ее части может вообще не происходить.

 

Рис. 1. Распределение поверхностных концентраций по длине мембраны при различных значениях коэффициента селективности.

 

Формулы (6), (10) позволяют производить расчет положения точки гелеобразования, если известна величина концентрации гелеобразования. Они могут использоваться для расчетов при проектировании мембранного оборудования.

ЛИТЕРАТУРА

1.       Гаврилов, Г.Б. Современные аспекты переработки молочной сыворотки мембранными методами / Г.Б. Гаврилов. – Кемерово: Кузбассвузиздат, 2004. – 160 с.

2.       Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г.Лойцянский. – М.: Дрофа, 2003. – 840 с.