Владов С. І., к. т. н. Мосьпан В. О., к. т. н. Юрко О. О.

Кременчуцький національний університет імені Михайла Остроградського, Україна

Модель кровоносної системи у вигляді узгодженої довгої лінії

Література:

1. И. Ф. Образцов, И.С. Адамович, А.С. Барер. Проблемы прочности в биомеханике. М.: — "Высшая школа", 1988.

2. Ю. А. Владимиров, Д.И. Рощупкин, А.Я. Потапенко, А.И. Деев. Биофизика. М.: — "Медицина", 1983.

3. В. М. Максимов. Линии передачи СВЧ-диапазона. Конспект лекций. М.: - "Сайнс-Пресс", 2002.

4. П.И. Бегун, П.Н. Афонин. Моделирование в биомеханике. М.: — "Высшая школа", 2004.

5. Г.П. Иткин. Биомеханика кровообращения. М.: — "МГТУ имени Н.Э. Баумана", 2005.

Кровообіг — процес постійної циркуляції крові в організмі, що забезпечує його життєдіяльність.

Досвід математичного моделювання системи кровообігу нараховує вже кілька десятиліть, і деякі з розроблених моделей з успіхом застосовуються в клінічній практиці. Найбільшу привабливість представляють моделі системи кровообігу в цілому, що описують зміну основних параметрів (тиск, об’єм, кровоток) на різних ділянках системи, які допускають введення в модельні співвідношення таких зовнішніх факторів, як змінена вагомість та перепад тисків по поверхні тіла, обумовлений застосуванням засобів компенсації. [1]

Моделювання органів та структур людського організму дає можливість передбачити критичні ситуації, з'ясувати механізми формування патології, знаходити області припустимих змін форми, механічних властивостей та характеру функціонування цих біологічних об'єктів. Це у свою чергу розширює сферу застосування діагностичних методів та пристроїв і є передумовою для створення автоматизованих засобів діагностики.

Велика кількість різних моделей була розроблена для того, щоб досягти кращого розуміння характеру співвідношень між фізичними явищами, які відбуваються в артеріальному руслі людського організму (зміна тиску, поширення хвиль у потоці) і власними властивостями артерій, такими, як їх радіус, товщина стінок, пружність, характер розгалужень, тобто будовою артеріального древа в цілому.

Метою роботи є математичне моделювання процесів, що протікають у серцево-судинній системі організму людину.

Розглядається моделювання функціонування замкненої серцево-судинної системи. Це завдання є актуальним, оскільки хвороби, пов'язані з порушенням функції серцево-судинної системи, упевнено лідирують серед головних причин смертності в усьому світі.

Результати роботи представляють досить великий інтерес як для практичних додатків у фізіології та медицині, так і для теоретичних досліджень, що включають подальший розвиток моделі та інтеграцію її з моделями інших систем організму людину.

Відомі попередні варіанти моделювання системи кровообігу у вигляді електричного кола будувались за наступним припущенням

Спочатку було проведено біофізичний аналіз кровообігу [2], який полягає в описі взаємозв'язків тиску та швидкості руху крові, а також їх залежності від фізичних параметрів крові, кровоносних судин і функціонування серця.

У ході проведення біофізичного аналізу кровообігу було виведено рівняння, яке описує рух циліндричного елемента крові уздовж осі судини зліва направо та рівняння, яке описує кількісно зміну в часі тиску крові та швидкості кровотоку по ходу судини у зв'язку з її деформацією. [2]

Аналогічний вигляд мають рівняння, відомі в електротехніці, що описують зміну електричного потенціалу уздовж електричного кола (dφ/dx) і в часі (dφ/dt), якщо це електричне коло складено з елементів, які мають, розраховуючи на одиницю довжини, омічний опір R, ємність С та індуктивність L (рис. 1). На вхід електричного кола подається імпульс, еквівалентний пульсовій хвилі. [2]

Рисунок 1 – Схема електричного кола, еквівалентна наповненій кров'ю судині

Така, здавалось би, зовнішня аналогія повна глибокого фізичного змісту. Перепад тисків викликає струм крові, а різниця потенціалів — електричний струм. Еластичність стінок робить ділянку судини ємністю для крові, у той час як конденсатор — це ємність для електричних зарядів. Інерція крові лежить в основі її гідродинамічної індуктивності, подібно тому, як електромагнітна інерція електронів лежить в основі індуктивності соленоїда. Ці аналогії дозволяють вивчати гідродинамічні явища в кровоносній системі, користуючись аналоговою електричною моделлю (рис. 1). Процес розповсюдження імпульсів електричного потенціалу та струму в такому колі добре вивчено в теоретичній електротехніці та легко описується математично. [2]

На підставі аналогії з електричними колами відбувається побудова моделі кровоносної системи не як замкненого циклу, а як довгої лінії. [3]

Запропонована модель кровоносної системи складається з 4 взаємозалежних елементів: серця, артеріальної, капілярної та венозної систем. Дана модель кровоносної системи дозволяє досліджувати як усю систему в цілому, так і кожну її окрему частину, будь то артеріальна, капілярна або венозна системи. Як і в раніше розроблених моделях, у запропонованій моделі дослідження ведеться навколо об'ємної швидкості кровотоку та тиску крові, тобто напруги та сили струму, що діють у колі. Однак, описавши вхідний сигнал (пульсова хвиля) як функцію залежності амплітуди сигналу від часу, і параметри судин, можна лише встановити відмінність вхідного та вихідного сигналів, тобто, сигналу, який відповідає удару серця та параметрам крові при скороченні (систолі), і сигналу, який відповідає параметрам крові, яка прийшла у серце після проходження нею великого та малого кіл кровообігу. Але таке дослідження є аналогічним раніше проведеним і не викликає особливої потреби в створенні нової моделі. Запропонована модель дозволяє проводити дослідження зміни сигналу як у часі, так і на будь-якій ділянці електричного кола в будь-який момент часу, тобто, зміну тиску та об'ємної швидкості кровотоку в будь-якій ділянці кровоносної судини. На рис. 1 представлена елементарна ділянка кровоносної судини, що складається з R, C, L – елементів, які відображають основні параметри крові та кровоносної судини. Таким чином, по суті, проектована модель повинна складатися з генератора (серця) і n таких R, C, L – кіл, причому виходи останнього R, C, L – кола повинні бути замкнені на вхід усього кола, тобто, підведені до генератора, що свідчить про замкнутість кровоносної системи. Але при такій побудові моделі напруга від генератора буде поданою, як на вхід першого R, C, L – кола, так і на вихід останнього, що відповідатиме подачі крові, як в артерії, так і у вени, що в реальності неможливо.

Для вирішення цього протиріччя елемент структурної схеми “серце” було умовно поділено на два елементи: “серце G” і “серце Z”. “Серце G” формує імпульси (тобто пульсову хвилю) і являє собою генератор напруги з параметрами U_Г, Z_C1, Z_ВИХ. “Серце Z” являє собою опір Z_C1, який відповідає вихідному опору останньої ланки лінії, забезпечуючи тим самим відсутність зворотної хвилі. Тобто, зберігається односпрямованість кровотоку, що відповідає умові замкненості повної системи кровообігу.

Рисунок 2 – Структурна схема системи кровообігу

Дана структурна схема дозволяє моделювати систему кровообігу не як замкнене коло зі зворотним зв'язком, а як довгу лінію, у якій напруга від генератора подається на вхід першого R, C, L – кола, що свідчить про те, що кров надходить лише в артерії.

Оскільки параметри реальних ділянок системи кровообігу є різними, то і моделююча довга лінія буде неоднорідною, тобто окремі її ланки будуть мати різні параметри і для забезпечення односпрямованості кровотоку між цими ланками необхідно поставити конвертори опорів, які б узгоджували вихідні та вхідні опори сусідніх ланок.

Отже, на вході лінії діє генератор змінної напруги із внутрішнім опором, який подає в коло імпульси, еквівалентні пульсовій хвилі. Генератор змінної напруги є аналогом серця.

Модель артеріальної системи довжиною l₁ являє собою лінію, що має безліч ланок, кожна з яких на елементарну одиницю довжини dl₁ має опір R₀₁dl₁, ємність С₀₁dl₁, провідність G₀₁dl₁ та індуктивність L₀₁dl₁, де R₀₁, С₀₁, L₀₁, G₀₁ – погонні параметри довгої лінії (рис. 3). Оскільки артеріальна система організму людини складається із аорти, артерій та артеріол, що мають різні геометричні параметри, то запропонована модель артеріальної системи у вигляді довгою лінії буде неоднорідною. Таким чином, модель артеріальної системи представлена у вигляді довгої лінії.

Рисунок 3 – Артеріальна система як довга лінія

Аналогічний вигляд має й модель венозної системи довжиною l₂ тільки з іншими параметрами: на елементарну одиницю довжини dl₂ має опір R₀₂dl₂ ємність С₀₂dl₂ провідність G₀₂dl₂ та індуктивність L₀₂dl₂ де R₀₂, С₀₂, L₀₂, G₀₂ – погонні параметри довгої лінії (рис. 4). Оскільки венозна система організму людини складається з венул, вен і порожніх вен, що мають різні геометричні параметри, то запропонована модель венозної системи у вигляді довгою лінії буде неоднорідною. Таким чином, аналогічно моделі артеріальної системи, модель венозної системи представляється теж у вигляді довгої лінії.

Рисунок 4 – Венозна система як довга лінія

Модель капілярної системи являє собою резистивне коло, яке складається з n резисторів, ввімкнених паралельно (рис. 5). У даній моделі плин крові по судинах буде моделюватися електричним струмом у колі з активних опорів. Таким чином, основним параметром моделі капілярної системи є загальний опір Z_K.

Рисунок 5 – Капілярна система у вигляді резистивного кола

Висновок

1. Моделі кровоносної системи людини у вигляді електричних кіл мають певні недоліки:

- аналізують лише вихідні та вхідні параметри системи в цілому, не виявляючи проблем на окремих її ділянках;

- не вирішують проблеми замкненості кровоносної системи.

2. Запропонована модель дозволяє вирішити ці питання шляхом представлення кровоносної системи у вигляді неоднорідної довгої лінії, всі ділянки якої працюють в режимі узгоджених опорів.