Доктор PhD, Ермекбаева Ж.Ж.

Евразийский национальный университет им.Л.Н.Гумилева, Астана, Казахстан

Влияние структурно-устойчивых отображений в моделях конкуренции

На сегодняшний день понимание законов развития и механизма регуляции видовой структуры экосистемы в целом остается сложной задачей, которая требует совместных усилий в теоретических и экспериментальных исследованиях. Известно что, понятия численность вида, его биомасса сами по себе не могут служить удовлетворительными критериями в продуктивности экосистемы. Необходимо изучить полную информацию о процессах в функционировании экосистемы.

Конкуренция двух видов организмов за два взаимозаменяемых ресурса питания изучена во многих работах. Как известно, существуют основные виды ресурсов: взаимозаменяемые ресурсы, комплементарные средства существования, антагонистические средства существования, переключающиеся, взаимодействующие незаменимые средства, полунезаменимые средства существования и т.д. [1]. В природе такие ресурсы играют большую роль как управление, в регуляции взаимодействия в конкурентных моделях.

В работах [2,3] уже подробно изучалось влияние компенсаторного эффекта на популяцию в виде структурно-устойчивого отображения, как один из методов управления в моделях хищник-жертва. Под структурной устойчивостью следует понимать независимость качественного поведения сообщества от незначительных вариаций параметров, определяющих динамику этого сообщества.

Человечеству уже известны методы борьбы с инфекциями в виде вакцинации, т.е. усилении иммунитета организма, выработке антител против тех или иных инвазий. По сути, мы имеем дело с компенсаторным воздействием, когда борьба идет не прямо против инвазий, а на усиление реакции организма, иммунитета на их вредное воздействие.

В данной работе рассмотрим модель динамики конкурирующих сообществ для оценки механизма управления с применением D - фактора. Динамику численности двух взаимодействующих популяций с управлением можно описать при помощи следующей модели.

(1)

где -численность i-го вида, -коэффициент прироста i-го вида, – коэффициенты, описывающий внутривидовое влияние, -коэффициент, описывающий влияние со стороны другого вида,-управляющий параметр, результатом может быть лимитирующие факторы за ресурсы или значения регулирующего фактора с положительным или отрицательным влиянием.

Для описания динамики численности конкуренции двух видов, где D-фактор, закон управления представлен в виде складки (), представим следующим образом:

(2)

-управляющий параметр. Все коэффициенты положительны. Из уравнения (2) следует, что система имеет следующие особые точки:

1: 2: 3:

4: (, ;

)

Фазовые портреты системы (2) могут быть представлены в 4-х основных режимах (Рис.1.). Первый режим означает, что второй вид во всех отношениях уступает первому и потому всегда вытесняется им (Рис.1., режим 1). Второй режим эквивалентно предыдущему с точностью до изменения нумерации видов (Рис.1., режим 2). Условие означает, что интенсивность межвидовой конкуренции для каждого из видов меньше интенсивности внутривидовой конкуренции. Это обеспечивает возможность сосуществования конкурирующих видов (Рис.1., режим 3).Условие означает, что межвидовая конкуренция для каждого из видов сильнее внутривидовой. В этом случае устойчивое сосуществование видов невозможно и в зависимости от начальных условий одна из популяций всегда выигрывает конкурента (Рис.1., режим 4). Области притяжения равновесий А₁ и А₂, соответствующих вытеснению каждой из популяций своего конкурента, разделены сепаратрисой седла С, отвечающего неустойчивому сосуществованию обеих популяций.

	Режим 1. При коэффициентах
	Режим 2. При коэффициентах
	Режим 3. При коэффициентах
	Режим 4. При коэффициентах

Рисунок 1. Режимы модели (2).

Теперь рассмотрим модель (1) с управлением вида двух параметрического структурно-устойчивого отображения, в виде сборки.

; (3)

Фазовые портреты системы (3) также могут быть представлены в 4-х основных режимах (Рис.1.). При соотношении параметров устойчивым является состояние, когда в системе имеются только представители второго вида. Результат (Рис.1., режим 1), при коэффициентах .

Во втором режиме, если в системе в начальный момент времени существовали обе популяции, то при любом соотношении их численностей с течением времени вторая популяция полностью вымрет, и останется только первая популяция со стационарной численностью. Фазовые траектории отображены на (Рис.1., режим 2), при коэффициентах
. Мирное сосуществование двух видов, осуществляется при условиях здесь интенсивность межвидовой конкуренции для каждого из видов меньше интенсивности внутривидовой конкуренции. Фазовый портрет показан на Рис.1., режим 3, при коэффициентах .

В следующем режиме, какой бы ни была численность популяции, выживает та популяция, которая имеет в самом начале преимущество в конкурентной борьбе, а другая популяция обречена на исчезновение. При выполнении условии , межвидовая конкуренция для каждого из видов сильнее внутривидовой, см. рис.1., режим 4.

При коэффициентах получаем седло.

Подробно исследуем первое уравнение из системы (3) с управлением, но с одной поправкой. Допустим, что со временем значение .

(4)

Рассмотрим равновесные состояния системы

(5)

Тривиальное решение уравнения (4): (6) и нетривиальное решение, определяемое решением уравнения (7). Это уравнение (7) может иметь до трех реальных решений вида

где , , .

Кубическое уравнение (7) имеет или один действительный корень и два комплексно-сопряженных корня, или три действительных корня, по крайней мере, два из которых равны, или три различных корня в зависимости от того, будет Q соответственно положительно (Q>0), равно нулю (Q=0) или отрицательно (Q<0). Более того, при изменении величин и происходит слияние трех решений, в результате чего остается единственное реальное решение. Можно определить кривые в параметрическом пространстве, разделяющие эти два режима: .

Эти кривые представлены на рисунке 2.

Рисунок 2. Кривые в параметрическом пространстве.

Влияние параметров ( и ) на бифуркацию стационарных решений уравнения (4):

a) кривая в пространстве параметров ограничивающая область существования трех реальных решений;

b) гистерезисное поведение решения при изменении параметра , а параметр фиксирован . Бифуркация типа предельной точки остается грубой;

c) бифуркация типа предельной точки в случае, когда выступающим в роли возмущения параметра не равно нулю;

d) разрушение бифуркаций типа камертона в случае, когда выступающий в роли возмущения параметр не равен строго нулю

. Область существования трех реальных решений заканчивается в точке и (начало координат на рис.3а), в которой зависимость от имеет особенность. Это известная особенность типа острия [4].

В данном случае, мы не изменяем параметры естественной среды (коэффициенты прироста, внутривидовой и межвидовой конкуренции), но контролируем и изменяем ситуацию извне, с помощью бифуркационных значений управляющих параметров.

В работе предложен компенсаторный механизм управления в виде однопараметрического и двухпараметрического структурно-устойчивых отображении, представленный в виде D-фактора, которые показали, что появляется возможность стабилизации численности популяций на заданном уровне. Показана теоретическая возможность существования управляющего механизма компенсаторного воздействия, что позволит целенаправленно вести поиск нейтрализующих реагентов экспериментально для управления численностью популяций в экосистемах.

Таким образом, в рамках общей модели конкуренции открывается возможность количественной оценки взаимодействия популяций, которая может быть использована для прогнозирования динамики численности и управления популяциями.

Литература

1.Абросов Н.С., Ковров Б.Г., Черепанов О.А. Экологические механизмы сосуществования и видовой регуляции.-Новосибирск: Наука, 1982, 286 с.

2. Ермекбаева Ж.Ж., Омаров А.Н. Компенсаторный эффект для управления численностью фитофагами-энтомофагами.-Новосибирск: Евразиатский энтомологический журнал, Том 9, Выпуск 3, 2010, стр.442-446. Интернет ресурс http://euroentjourn.narod.ru/indexrus.html.

3. Ермекбаева Ж.Ж, Омаров А.Н. Компенсаторный эффект для управления численностью популяции .- Красноярский научный центр СОРАН, тез. докл. Всероссийского Симпозиума с международный участием «Сложные системы в экстремальных условиях», 16-21 августа 2011, интернет ресурс http://news.sfu-kras.ru/node/6368.

4. Бейсенби М.А., Тен В.В. Подход к увеличению потенциала робастной устойчивости систем управления.-Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: тез. докл. VII междунар. семинара, 2 мая 2002 г. – М.: ИПУ РАН, 2002. – стр. 122–123.