К.т.н. Желтов П.В., Семенов В.И., Шурбин А.К.

Чувашский государственный университет, Россия.

Применение ортогонального быстрого вейвлет-преобразования

для интерполяции зависимостей

Интерполирование является одним из основных типов точечной аппроксимации, т.е. приближение функции f(x) более простой функцией на заданном дискретном множестве точек . Если используется одна функция для интерполяции функции f(x) на всем рассматриваемом интервале изменений аргумента x, то говорят о глобальной интерполяции. Если интерполяционная функция строится отдельно для разных частей рассматриваемого интервала изменений аргумента x, то имеем локальную интерполяцию [1]. Простейшим видом локальной интерполяции является линейная интерполяция. Оно состоит в том, что заданные точки соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(x) приближается ломаной с вершинами в данных точках. При квадратичной интерполяции используется уравнение квадратного трехчлена.

При локальной интерполяции широкое распространение получило использование кубических сплайн-функций. Если, в качестве аппроксимирующей функции выбран полином в степени n в каноническом виде

.

при глобальной интерполяции для нахождения аппроксимирующих функций , необходимо решать систему алгебраических уравнений. Нахождение коэффициентов с помощью решения таких систем уже при сравнительно небольших n, например n = 20, приводит к существенному искажению коэффициентов вычислительной погрешностью, а также построение многочленов Лагранжа сопряжено с большой вычислительной работой [1]. Разработанный алгоритм ортогонального быстрого вейвлет-преобразования (ВП) позволяют интерполировать табличные значения, полученные из эксперимента или путем вычисления значений функции f(x) в последовательности значений аргумента . Число узлов может быть сколь угодно большим. При получении интерполяционной зависимости не решается система уравнений и потому время вычисления определяется, временем вычисления ортогонального быстрого ВП. Принцип вычисления интерполяционной функции с применением ортогонального быстрого ВП заключается в следующем. Пусть в узлах , функция имеет значения. Полученная функция, в зависимости от количества точек k в интервале , будет иметь дискретных отсчетов. Назовем эту функцию исходной. На рис. 1 представлена исходная функция, количество узлов равно 64, общее число отсчетов равно 2048. Для того, чтобы находить новые значения функции между узлами, сначала применим локальную линейную интерполяцию. Полученную кривую разложим на m уровней с помощью быстрого ортогонального ВП. Полученные вейвлет-коэффициенты m = Log(l x n), используем для обратного ВП. Если мы будем использовать все вейвлет-коэффициенты при обратном ВП, мы получим ту же кривую с вершинами в узлах. Для того, чтобы сгладить ломанную функцию исключим вейвлет-коэффициенты с малыми масштабными коэффициентами и вычисляем обратное ВП. Функция, вычисленная таким образом, не совпадает со значением в узлах, но отражает исследуемую зависимость, как в методе наименьших квадратов.

Рис. 1. Исходная функция

Для того чтобы аппроксимирующая функция совпадала функции f(x) в узлах, определяем в соседних узлах, по разработанному алгоритму. Вычисляем аппроксимирующую функцию во всех точках. Сравнение погрешностей вычисления этим методом и погрешности линейной интерполяции, показывают, что абсолютное значение погрешности линейной интерполяции больше во всех точках между узлами.

Рис. 2. Аппроксимирующая функция

На рис. 2 представлена аппроксимирующая функция. Полученные таким образом аппроксимирующие функции, можно использовать для повышения точности вычисления интегралов и производных, функций заданных таблично или экспериментальных данных полученных с большим шагом дискретизации.

Литература

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. 632 с.: ил.