Секция:  математика, подсекция 1

Д.ф.-м.н. Беляева Н.А., асп. Кузнецов К.П.

Сыктывкарский государственный университет, Россия

Нелинейная динамическая модель стационарного куэттовского течения структурированной жидкости

Пусть структурированная вязкая несжимаемая жидкость заполняет полосу между плоскостями  и , а её течение вызывается движением плоскости  в направлении оси  со скоростью , зависящей от координаты . Полагаем, что жидкость является смесью двух компонент A1 и A2, которые под действием приложенного механического поля могут взаимно превращаться друг в друга.

Замкнутая система уравнений, описывающая течение и превращение рассматриваемой жидкости, имеет [1, 2] вид:

                                      

Первое уравнение системы – уравнение движения, второе – диффузионно-кинетическое уравнение относительно степени структурных превращений  (доля A1 в смеси A1 и A2);  – параметры жидкости, – плотность,  – коэффициент диффузии, ,  – вязкости компонент A1 и A2 соответственно. Начальные и граничные условия имеют вид:

                                                                                                

                                                             

Рассмотрим стационарные решения модели -. Выразим из первого уравнения системы (3) стационарную скорость деформации:

                                 

и подставим во второе уравнение. Получим одно дифференциальное уравнение второго порядка:

                                         .                       

Введем безразмерные переменные и параметры:

                                 .                          

Тогда из с учетом граничных условий получим безразмерную краевую задачу относительно степени структурных превращений:

                                                   ,                             

                                          .                                               

В работе [4] исследовано поведение однородных стационарных решений задачи в зависимости от параметра  – определены значения параметров, при которых существует две точки поворота, разделяющих области с одним и тремя однородными решениями задачи -. При этом множество значений параметра y, задающих три решения, соответствует так называемой области «сверханомалии вязкости» на реологической кривой. Отметим, что возникающие здесь бифуркации по y не нарушают пространственной однородности.

В данной работе рассмотрены бифуркации однородных решений, нарушающие пространственную однородность – первичные бифуркации.

Вещественная бифуркация находится из условия обращения в ноль собственного значения оператора задачи , линеаризованного на постоянном решении  при граничных условиях :

                                                                      ,                                        

                     .

Получаем

                                                                                                                                          

при условии , что достигается, если  – решение из области «сверханомалии» (лежащее на убывающем участке кривой течения) [2].

При значениях  все собственные числа линейного оператора лежат в левой (комплексной) полуплоскости, следовательно, однородное решение устойчиво. При переходе через  положение равновесия  теряет устойчивость, и вследствие бифуркации рождаются неоднородные решения.

Для исследования поведения решения в окрестности точки бифуркации  воспользуемся бифуркационным анализом, который состоит в представлении решения вблизи критического значения параметра в виде асимптотического ряда по степеням некоторого параметра , характеризующего отклонение бифуркационного параметра  от его критического значения , и нахождения коэффициентов этого разложения.

Будем искать стационарное решение задачи , в виде:

                                                                           

Подставляем выражение в стационарное уравнение , разлагая при этом нелинейные члены в ряд Тейлора в окрестности точки . В данном разложении члены при степенях , ,  приравниваем к нулю и получаем уравнения для определения коэффициентов . Слагаемые при  первого порядка дают уравнение для нахождения : .

Отсюда следует, что  является собственной функцией оператора , соответствующей нулевому собственному значению. Коэффициенты при  более высокого порядка дают уравнения:

                                                                                                

где функции  определяются разложением нелинейных членов уравнения в ряд Тейлора в окрестности . Так как оператор  имеет нулевое собственное значение, необходимым условием разрешимости этих уравнений относительно  является ортогональность правых частей уравнения к собственным функциям, соответствующим нулевому собственному значению оператора :

                                                         .                                       

Уравнения и позволяют рекуррентно вычислить , . Получены (с учетом замены ) следующие выражения указанных коэффициентов:

 

Из разложения : выражение  содержит первое, отличное  от нуля, слагаемое при степени , поэтому бифуркация односторонняя. Нетрудно показать, что  – бифуркация суперкритическая: неоднородное решение вблизи точки бифуркации существует  при условии .

Для построения фазовой диаграммы – зависимости решений от параметра L – использовался метод отображения параметра [3]. В задаче - вводится дополнительное зависящее от параметра начальное условие:

                                                                                  .                                              

Посредством интегрирования задачи Коши , с дополнительным условием (метод Рунге-Кутта четвертого порядка [5]) определяется значение параметра . Изменение значения параметра   позволяет построить фазовой диаграмму, представленную на рис.1.

Последовательность бифуркационных событий формирует следующий бифуркационный процесс. При пересечении параметром  критических значений, соответствующих точкам поворота, происходит жесткая бифуркация однородного решения – скачкообразный переход с одной ветви решения на другую с появлением (или исчезновением) пары однородных устойчивых решений.

 

Рис.1. Диаграмма стационарных решений (, , ). Сплошной линией отмечены устойчивые решения, прерывистой – неустойчивые; кружком отмечена точка бифуркации .

В случае, если значение параметра  превышает элементарную бифуркационную длину , наблюдается мягкая бифуркация – суперкритическая «вилка» [6]: одно из положения равновесия (среднее решение ) теряет устойчивость, и из него рождается одно неустойчивое и пара расходящихся устойчивых пространственно-неоднородных решений, переход к которым от однородного решения осуществляется плавно и непрерывно. Численное определение указанных решений выполнено методом стрельбы [3]. Результаты численного эксперимента совпадают с аналитическим решением , полученным на основе бифуркационного анализа.

Пространственные профили пар полученных решений (при фиксированных значениях параметров) являются взаимно симметричными, т.е. при произвольном выборе  выполняется условие , где верхний индекс определяет ветвь решений. Проведенное в работах [1,4] численное моделирование исходной задачи - и последующий анализ пространственно-временного распределения показали установление пространственно-неоднородного течения жидкости – диссипативной структуры, вне зависимости от начального условия. Установившиеся решения качественно не отличаются от решений стационарной задачи, полученных в данной работе. При уменьшении значения дроби  указанные решения фактически совпадают.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ, ГК № 02.740.11.0618

Литература

1.     Беляева Н.А. Неоднородное течение структурированной жидкости // Математическое моделирование. 2006. Т. 18.№ 6. – С. 3-14.

2.     Худяев С.И. Пространственная неоднородность и автоколебания при течении структурированной  жидкости // Математическое моделирование. 2002. Т. 14. № 7. – С. 53-73.

3.     Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. М.: Мир, 1991. 386 с.

4.     Кузнецов К.П., Беляева Н.А. Диссипативная структура и область сверханомалии куэттовского течения структурированной жидкости в плоском зазоре

5.     Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. 575 с.

6.     Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций М.: Мир, 1983. 301 с.