Решение системы линейных уравнений, появляющейся при обработке данных ГДИ по двучленному закону Форхгеймера

УДК 622.276.038:532.5 Толпаев В. А., Ахмедов К. С.

При обработке данных ГДИ часто приходится искать решение переопределенной несовместной системы линейных уравнений (СЛАУ) следующего частного вида:

. (1)

В частности, к системе (1) приводит задача расчета коэффициентов фильтрационных сопротивлений и в известной формуле притока газа к скважине по данным ГДИ, когда фильтрация газа подчиняется нелинейному двучленному закону Форхгеймера.

Особенностью системы уравнений (1) является то, что она содержит два неизвестных и , а коэффициенты , и определены с некоторыми погрешностями, в результате чего СЛАУ (1) является несовместной. Приближенное решение СЛАУ (1) можно найти методом наименьших квадратов (МНК). Укажем два способа отыскания приближенного решения и сравним их «работоспособность».

1-ый способ приближенного решения СЛАУ (1)

Рассмотрим вначале 1-ый способ, который получил широкое распространение в классической методике обработки данных ГДИ. Следуя предложению Коротаева Ю. П., разделим с целью упрощения уравнений обе части каждого уравнения СЛАУ (1) на коэффициент при неизвестном . В результате СЛАУ (1) примет более простой вид[1]

, где и . (2)

В качестве приближенного решения СЛАУ (2) естественно выбрать такие корни и , которые доставляют минимум сумме квадратов невязок

. (3)

Из условия минимума , суммы квадратов невязок относительно и получаем следующую нормальную систему уравнений

. (4)

Из СЛАУ (4) находим корни и :

. (5)

Заметим, что в описанном классическом методе обработки данных ГДИ формулы (5) будут «неработоспособны», если среди коэффициентов найдутся нулевые.

2-ой способ приближенного решения СЛАУ (1)

Второй способ отыскания приближенного решения системы (1) тоже основан на применении МНК, но, в отличие от первого способа, он может быть применен и тогда, когда среди коэффициентов есть и нулевые. В качестве приближенного решения СЛАУ (1) естественно выбирать такие корни и , которые доставляют минимум сумме квадратов невязок :

. (6)

. (7)

Из СЛАУ (7) находим корни и :

. (8)

Сравнение погрешностей расчетов по формулам (5) и (8)

Для того чтобы выяснить, какие из формул (5) или (8) при расчетах на ЭВМ дают более точное решение СЛАУ (1) проведем вычислительные эксперименты.

Пример 1. Пусть коэффициенты , и СЛАУ (1) имеют значения, указанные в таблице 1.

Таблица 1. Коэффициенты уравнений СЛАУ (1) в примере 1

№ п/п
1	1,000	1,000	3,000
2	2,000	5,000	14,000
3	5,000	2,000	8,000
4	3,000	-2,000	-0,900
5	4,000	7,000	20,000

Приближенные решения и среднее значение модулей невязок уравнений СЛАУ (1) для этих исходных данных представлены в таблице 2.

Таблица 2. Приближенные решения СЛАУ (1) в примере 1

№ формулы	Приближенное решение		Среднее значение модулей невязок
Формулы (5)	x = 0,9411	y = 2,3267	0,6184
Формулы (8)	x = 0,8779	y = 2,3259	0,6370

Далее в таблицах 3 – 6 приводятся решения еще двух примеров.

Пример 2.

Таблица 3. Коэффициенты уравнений СЛАУ (1) в примере 2

№ п/п
1	1,000	1,000	1001,000
2	3,000	2,000	3000,000
3	1,000	100,000	1080,000
4	0,100	10,000	112,000
5	0,010	1,000	12,000

Таблица 4. Приближенные решения СЛАУ (1) в примере 2

№ формулы	Приближенное решение		Среднее значение модулей невязок
Формулы (5)	x = 999,3833	y = 1,3395	11,2880
Формулы (8)	x = 999,5336	y = 0,8088	1,2882

Пример 3.

Таблица 5. Коэффициенты уравнений СЛАУ (1) в примере 3

№ п/п
1	1,000	1,000	1001,000
2	3,000	2,000	3000,000
3	1,000	100,000	1080,000
4	0,100	10,000	112,000
5	0,010	1,000	12,000
6	1,100	1000,000	2100,000
7	0,001	1,000	2,000

Таблица 6. Приближенные решения СЛАУ (1) в примере 3

№ формулы	Приближенное решение		Среднее значение модулей невязок
Формулы (5)	x = 1020,0180	y = 0,9815	17,8229
Формулы (8)	x =997,8267	y = 1,0006	4,2243

Пример 1 показал, что если коэффициенты и в левой части уравнений системы (1) имеют одинаковый порядок, то оба способа приближенного решения СЛАУ (1) приводят практически к одинаковым результатам – расхождения по вычисленным значениям и составили 6,7% и 0,03% соответственно. Одинаковая точность обоих способов приближенного решения СЛАУ (1) в условиях примера 1 в таблице 2 подтверждается практически совпадающими средними значениями модулей невязок.

Пример 2 показал, что если коэффициенты и в левой части уравнений системы (1) имеют разный порядок (в 4-ом и 5-ом уравнениях они отличаются в 100 раз), то первый способ приближенного решения дает среднее значение модулей невязок в раза больше, чем второй. Этот факт говорит, что для компьютерной реализации обработки данных ГДИ целесообразнее рассчитывать корни СЛАУ (1) по второму способу – по формулам (8).

Пример 3 отличается от примера 2 тем, что к пяти уравнениям примера 2 добавилось еще два дополнительных уравнения. На практике это соответствует тому, что для повышения надежности исследования скважины на 5 проведенных режимах решили провести дополнительные исследования еще на двух режимах. Сравнение примеров 2 и 3 показало, что по первому способу решения СЛАУ (1) значения корней и изменились на 2,06% и на 26,7% соответственно. При решении СЛАУ (1) по второму способу значения корней и изменяются на 0,17% и на 23,7% соответственно. Таким образом, в отличие от первого способа решения СЛАУ(1) второй способ обладает большей устойчивостью результатов вычислений. К тому же и во втором и в третьем примерах средние значения модулей невязок по первому способу решения больше, чем по второму.

Из сказанного вытекает, что корни и СЛАУ вида (1) рациональнее вычислять по формулам (8), а не по формулам (5). Заметим, однако, что формулы (5) получили широкое распространение в классических методах расчета коэффициентов уравнения притока газа к скважине по данным ГДИ, в частности при обработке данных по методике установившихся отборов газа. Поэтому целесообразно сделать корректировку классической методики обработки данных ГДИ путем перехода от расчетов по формулам (5) к расчетам по формулам (8).

Представление СЛАУ (1) и основных расчетных формул в терминах линейной алгебры

Для сокращения объемов записей расчетных формул и придания им большей наглядности рационально применять известные определения и обозначения линейной алгебры. А именно, введем в рассмотрение вектора коэффициентов левой части , и вектор правой части СЛАУ (1). Используя классические линейные операции (сложения векторов и умножения вектора на число) линейной алгебры, СЛАУ (1) можно записать в следующем компактном векторном виде записи:

. (9)

Для отыскания решения векторного уравнения (9) применим классическую в линейной алгебре операцию скалярного произведения векторов.

Скалярным произведением двух векторов и , как хорошо известно, в линейной алгебре называют число , равное сумме произведений одноименных координат векторов, т.е.

. (10)

Скалярное произведение вектора самого на себя, как обычно, будем называть скалярным квадратом вектора. В частности, если в (10) , то получим формулу для скалярного квадрата вектора

. (11)

Для решения СЛАУ (1), представленной в векторном виде (9), умножим скалярно обе части уравнения (9) вначале на вектор , а затем на вектор . В результате получим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными и :

. (12)

Корни системы (12) найдем по формулам Крамера

. (13)

Если в формулах (13) раскрыть определители второго порядка, а скалярные произведения представить с помощью формул (10) и (11) в развернутой форме записи, то получим формулы (8). Запись основных расчетных формул (8) в виде (13) оправдана тем, что в этом виде они легко запоминаются и удобны для программирования.

[1] Именно такой вид имеет система уравнений (5) для определения параметров пласта на стр. 327 в книге Коротаев Ю. П. «Избранные труды», Т. 1, М.:, Недра, 1996.