Чернова Е.С.

Кемеровский государственный университет, Россия

Применение метода динамического программирования для построения оптимальной траектории в одной модели устойчивого развития экономического региона

Концепция устойчивого развития как новая социально-экономическая парадигма, возникшая в XX веке в связи с нарастающими экологическими проблемами, в настоящее время становится всё более актуальной как объект исследования многих ученых из разных областей знания. Одним из способов поиска решения глобальной задачи перехода к устойчивому развитию может стать математическое моделирование и, в частности, модели оптимального управления, позволяющие учесть «сознательный» характер управления развитием таких сложных систем, как регионы, государства или мир в целом.

Исходя из понятия устойчивого развития, мы выделяем [1] следующие требования к математической модели устойчивого развития региона:

1) учет трех секторов региона – социального, экономического, экологического – и взаимосвязанного их развития;

2) наличие в модели параметров управления развитием региона на долгосрочном интервале времени;

3) учет многоцелевого характера развития региона.

За основу при формализации задачи устойчивого развития нами была взята глобальная динамическая модель Медоуза «Мир-3», модификация которой заключалась в изменении характера некоторых зависимостей, включении в нее параметров управления развитием региона и векторного критерия качества. Более подробное обоснование принятой в работе модификации можно найти, напр., в [2].

Полученная модель представляет собой дискретную задачу оптимального управления со многими критериями качества, закрепленными концами и фазовыми ограничениями, содержащую семь уравнений движения. В качестве управляющих параметров использовались доли инвестиций, направляемые в различные сферы модели «Мир-3» (обозначим , ).

К экономическому сектору построенной модели устойчивого развития региона отнесем уравнения для индустриального и сервисного капиталов, а также для площадей земель, потенциально пригодных для обработки, и для площадей земель, разрушенных почвенной эрозией. После введения управляющих параметров эти уравнения соответственно принимают вид:

(1)

(2)

(3)

(4)

где , – фиксированные времена износа основных фондов промышленных и сервисных предприятий, – стоимость ввода в эксплуатацию одного гектара земли, – доля сельскохозяйственных инвестиций, идущая на разработку новых площадей, – годовой выпуск продукции. Кроме того, будем считать, что скорость увеличения ранее возделанных земель, разрушенных почвенной эрозией, прямо пропорциональна количеству уже имеющихся таких земель с коэффициентом .

К экологическому сектору модели будут относить уравнения для уровней природных ресурсов и загрязнений:

(5)

(6)

где – стоимость восстановления единицы ресурса, – стоимость очистки единицы загрязнения, – скорость генерации загрязнения, – характерное время абсорбции загрязнения, – темп выбытия природных ресурсов.

И, наконец, социальный сектор модели будет содержать уравнение для численности населения в первом диапазоне возрастов (0 – 15 лет):

(7)

где – максимальное количество средств, выделяемых на контроль за рождаемостью, – вероятность смерти индивидуума в первом диапазоне возрастов, и – величины предельной и желаемой фертильности.

Рассмотрим ограничения модели. Доли инвестиций ограничим снизу некоторой величиной , обозначающей минимально возможную долю конечного продукта, направляемую в определенный сектор в каждый момент времени (год) . Введя также очевидные условия неотрицательности фазовых переменных, получим следующие ограничения:

, , , (8)

, , , . (9)

Функционалов качества в полученной модели, на наш взгляд, должно быть, по крайней мере, три: в области экологии это минимизация уровня загрязнений, в области экономики – минимизация производственных затрат. Для социального сектора функционал качества определим как показатель уровня сервиса на душу населения. Таким образом, получаем три критерия:

(10)

Для нахождения решения рассматриваемой задачи воспользуемся методом динамического программирования. При этом для упрощения выкладок систему (1) – (7) запишем в унифицированной форме:

, (11)

а под принципом оптимальности будем понимать максимизацию свертки критериев (10). Уравнение Беллмана для модели (1) – (10) будет выглядеть следующим образом:

где – функция Беллмана.

Выполняя последовательные вычисления этапа условной минимизации для , получим условно-оптимальные управления в виде:

. (12)

Затем на этапе безусловной максимизации определим оптимальные управления и соответствующую оптимальную траекторию при помощи уравнений движения (1) – (7) и условно-оптимальных управлений по формулам (12). Таким образом, будет найден оптимальный процесс динамики системы.

Литература

1. Данилов, Н.Н. Устойчивое развитие: методология математических исследований [Текст] / Н.Н. Данилов // Вестник КемГУ. Математика. – Кемерово. – 2000. – вып.4. – с. 5-15.

2. Чернова, Е.С. Вычисление оптимальной траектории в модели устойчивого развития региона, построенной в форме модифицированной глобальной модели «Мир-3» [Текст] / Е.С. Чернова // Вестник КемГУ. – 2009. – № 2. – с.48-51.