Сидельник А.И.

Педагогический Институт Южный Федеральный Университет, факультет математики, информатики и физики, 2 курс магистратуры, Россия

Многоугольники и многогранники на решетках

Решетка на плоскости является мощным средством, которое позволяет задачи алгебры, анализа, теории чисел переводить на геометрический язык.

Историю данного вопроса можно начать с попытки Дж. Буля в первой половине XIX века формализовать логику, которая привела к понятию булевой алгебры. Исследуя аксиоматику булевых алгебр в конце XIX века, Ч. Пирс и Э. Шредер ввели понятие решетки. Однако результаты этих математиков не привлекли внимание математической общественности. Следует отметить, что клетчатая бумага, точнее ее узлы, является одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости. Уже эта простая решетка послужила К. Гауссу отправной точкой для сравнения площади круга с числом точек с целыми координатами, находящимися внутри него. Систематическое использование решеток в теории чисел, начатое К. Гауссом, привело к созданию Г. Минковским геометрии чисел, в которой многие вопросы решаются на основе геометрических методов. Дальнейшее развитие теория решеток получила лишь в середине 30-х гг. ХХ века в работах Г. Биркгофа. Он показал, что решетка является каркасом для разрозненных достижений во многих математических дисциплинах. Развитие теории решеток связано также и с работами отечественных математиков Г.Ф. Вороного, Б.Н. Делоне и др. В настоящее время теории решеток посвящены целый ряд работ, некоторые из них [1-6], изложены в популярной форме и доступны даже учащимся средней школы.

Одним из важных объектов, который возникает в различных задачах алгебры, геометрии, анализа является ортогональная целочисленная решетка. На плоскости – это решетка Z². Она состоит из всех точек плоскости Оху, у которых обе координаты – целые числа. Точки такой решетки, как уже говорилось, можно рассматривать как узлы клетчатой бумаги, размер клеточки которой равен единице.

Если все вершины многоугольника лежат в узлах решетки Z², то говорят, что он расположен на этой решетке. Ни один правильный многоугольник, за исключением квадрата, нельзя расположить в узлах решетки, т.е. так, чтобы все его вершины имели целые координаты. Однако, помимо правильных многоугольников, существуют и полуправильные многоугольники – равноугольные и равносторонние. Равноугольным многоугольником называется многоугольник, у которого внутренние углы равны, но стороны могут и отличаться друг от друга. Аналогично определяется равносторонний многоугольник.

Итак, на целочисленной решетке Z² нельзя расположить ни одного равностороннего многоугольника с нечетным числом сторон и можно расположить равносторонний многоугольник с четным числом сторон, например ромб. Из всех возможных равноугольных многоугольников на решетке Z² можно расположить только прямоугольник и восьмиугольник.

А какие правильные многогранники можно поместить на целочисленной решетке Z³ в пространстве? Существует пять различных правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Правильный тетраэдр, гексаэдр и октаэдр можно расположить на целочисленной решетке. Это следует из того, что правильный тетраэдр получается, если провести диагонали граней куба, а октаэдр – если соединить центры граней куба. Додекаэдр нельзя расположить на решетке Z³, так как не существует правильного пятиугольника с вершинами в узлах решетки, а гранями додекаэдра являются именно правильные пятиугольники. Аналогично, икосаэдр также нельзя расположить на решетке Z³[2].

Для вычисления площадей многоугольников, расположенных на решетках используется формула чешского математика Г. Пика, доказанная в 1899 году. , где В – количество узлов решетки, попавших внутрь фигуры, Г – количество узлов, попавших на ее границу [1].

Поскольку задания на вычисление площадей фигур, расположенных на клетчатой бумаге, в последние несколько лет включены в содержание контрольно-измерительных материалов ЕГЭ, нам представляется актуальным рассмотрение вопроса о включении данной темы в школьный курс геометрии, чему и посвящено наше магистерское исследование.

Литература

1. Вавилов В.В., Устинов А. Две знаменитые формулы // Квант, 2008. №2.

2. Вавилов В.В., Устинов А.В. Многоугольники на решетках. – М.: МЦНМО, 2006.

3. Вавилов В.В., Устинов А.В. Полуправильные многоугольники на решетках // Квант, 2007. №6.

4. Галиулин Р.В. Как устроены кристаллы // Квант, 1983. №11.

5. Долбилин Н.П. Жемчужины теории многогранников. – М.: МЦНМО, 2000.

6. Егоров А.А. Решетки и правильные многоугольники // Квант, 1974. №12.