Технические науки/ 5. Энергетика

Физика/ 8.  Молекулярная физика

 

К. т. н. Давидзон М. И.

Ивановский государственный университет, Россия

Следует ли пользоваться законом охлаждения Ньютона-Рихмана для расчёта конвективного теплообмена?

 

          Вопрос, поставленный выше, может вызвать удивление. Во всей  современной научно-технической литературе отечественной [1,2], англоязычной [3-5] и международной - [6] закон охлаждения Ньютона-Рихмана положен в основу экспериментальных и теоретических исследований по теплообмену. Его используют в качестве граничных условий при решении уравнений математической физики. Цель настоящего исследования показать, что в этом законе заложены не совсем соответствующие действительности предположения.

          В современной трактовке закон охлаждения Ньютона – Рихмана утверждает, что поверхностная плотность потока тепла  от нагретого тела пропорциональна разности температур поверхности тела  и окружающей среды . Его записывают в форме (1)

                                                                                                  (1)

Коэффициент пропорциональности  называют коэффициентом теплообмена.

          Основанием для получения выражения (1) послужили опыты И. Ньютона [7]   и более подробные  - В. Рихмана [8].

          Методика проведения опытов по В. Рихману: « Я подвесил на тонком шнурке стеклянный сосуд сферической формы с узким горлышком таким образом, что он соприкасался только с воздухом, температура которого была 680, и налил в этот сосуд кипящую воду…….. Опустив термометр в воду, я увидел, что теплота уменьшилась……» [8].

          Из выводов работы. «Итак, мы заключаем из опытов, что убывание теплоты….. происходит в сложной зависимости, прямопропорционально поверхностям и разностям между температурой охлаждаемых или нагреваемых масс и температурой воздуха, и обратнопропорционально объемам нагреваемых или охлаждаемых масс, при условии, что промежутки времени равны друг другу и невелики. Утвердив это положение, мы способны будем обосновать закон, согласно которому можно будет предсказать убывание или возрастание теплоты за любой промежуток времени, при постоянной температуре воздуха» [8, стр. 80] (выделено мною).

Следует обратить внимание, что в опытах В. Рихмана температура в помещении, где проводились опыты, (температура окружающей среды ) при проведении опытов оставалась неизменной.

          Из условий проведения опытов следует, что на большую физическую систему (воздух помещения) оказывалось слабое воздействие – слабое возмущение. Настолько слабое, что в результате приобретения тепла температура воздуха помещения не изменялась.

          С формальной точки зрения мы имеем ситуацию, когда поверхностная плотность теплового потока  является функцией независимых переменных   и , т. е. . Изменение плотности теплового потока  можно представить в виде суммы (2)

                                                   (2)

Чтобы найти выражение для  необходимо из каких-либо соображений (или экспериментальных данных) выразить частные производные в равенстве (2).         Обратим внимание, в процессе теплообмена температура помещения не меняется (). Что касается частной производной от плотности теплового потока по температуре стенки кажется естественным предположить, что чем выше температура стенки, тем больше будет плотность теплового потока, т. е.

                                                              (3)

Проинтегрировав (2) и определив постоянную интегрирования из условия  при , получим

,                                                        (4)

что совпадает с законом охлаждения Ньютона-Рихмана (1).

          При выводе (4) заложена предпосылка, что с ростом температуры стенки линейно меняется плотность теплового потока. Если в выражении (3) принять зависимость не линейную, а скажем, экспоненциальную, то в выражении (4) появится экспонента, т. е. мы не получим закон охлаждения Ньютона-Рихмана.

          Должна ли плотность теплового потока линейно зависеть от температуры стенки? Опыты Рихмана напоминают ситуацию с охлаждением стакана горячего чая в помещении. Охлаждение чая наблюдается до момента времени, когда его температура не станет равной температуре помещения (физическая система чай-воздух помещения приходит в термодинамически равновесное состояние). Температура чая не может приобрести значение температуры ниже температуры окружающей среды . А при линейной зависимости  чай может приобретать температуру ниже температуры окружающей среды. Закон охлаждения Ньютона-Рихмана (1) приходит в противоречие с принципами термодинамики. Функция   должна быть не линейной, а плавной кривой такой, чтобы при  и  при . Этим условиям удовлетворяет, например, экспоненциальная функция. При малых значениях показателя экспоненты (невысоких температурах стенки) экспоненту можно разложить в ряд Маклорена и, ограничившись линейным приближением в зависимости (2), придём к равенству (1) – закону охлаждения Ньютона-Рихмана. Получается, что закон охлаждения Ньютона-Рихмана является линейной аппроксимацией более сложного закона охлаждения.

          У закона охлаждения Ньютона-Рихмана имеется ещё одна особенность. Не учитывается, что температура воздуха приобретает значение равное  не сразу, а на некотором расстоянии  от стенки. Значение этой температуры  меняется от при , до  на некотором удалении от стенки (теоретически при ). Если учесть это обстоятельство, то плотность теплового потока должна определяться не граничными значениями температуры стенки и температуры помещения, а градиентом температуры. В этом случае вместо (2) получим выражение (5)

                                     (5)

Принимая частные производные от   по  температуре стенки, градиенту и температуре помещения постоянными (соответственно ), и, интегрируя (5) при условии  когда , получим

                                                           (6)

Выходит задача Ньютона-Рихмана (о затухании слабого теплового возмущения) сводится к закону Фурье (о передаче тепла теплопроводностью). Такой же вывод сделан в работе [9], исходя из совершенно иных предположений.

          При теплообмене движущейся со скоростьюсреды в каналах и  трубах температура стенки меняется как вдоль течения, так и по сечению. Отсутствует температура . С термодинамической точки зрения говорить о применении закона охлаждения Ньютона-Рихмана в этих условиях не приходится. Нужен поиск новых соотношений, соответствующих физике явления теплообмена.

 

Литература:

1.     Амерханов Р.А., Драганов В.Х.,Теплотехника,Москва, Энергоиздат, 2006.

2.     Теплотехника, ред. Луканин В. Н., Москва, Высшая школа, 2009.

3.  Eduardo Cao, Heat Transfer in process Engineering, McGraw Hill, 2010.

4. Latig M. Jiji Heat Transfer Essentials. A Textbook, Begell House Inc, 2002.

     5. Fundamentals of Heat and Mass Transfer (sixth edition). F.P. Incropera, D.P.       Dewitt, T.L. Bergman, F. A. S. Lavine, John Wiley & Sons, 2007.

6. International Encyclopedia of Heat and Mass Transfer. Edited by G.F. Hewitt,       G.L. Shires, Y.V. Polezhaev., CRC Press. Boca Raton, New York, 1997.  7.Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Оптика. Оптические лекции. (Избранные места). Л.: Издательство П. П. Сойкин, 1929.

8. Рихман  В Труды по физике. М.:  Издательство АН СССР, 1956.

9. Давидзон М. И. О законе охлаждения Ньютона-Рихмана//Вестн. Иван. гос. ун-та. Сер.:Естеств., обществ. науки. 2010. Вып.2. С. 72-75.