Технические науки / 2. Механика

к. техн. наук Обухов А.Н., Дмитренко И.С., Зозуля Е.С.

Донбасская государственная машиностроительная академия

Об ударных колебаниях под действием силы сопротивления, пропорциональной квадрату скорости (зависимость периода колебаний от числа ударов шарика о плиту)

Постановка задачи: Упругий шарик, массой m падает с высоты H₀ и ударяется об упругую плиту (коэффициент восстановления при ударе шарика о плиту ). Требуется найти зависимость периода колебаний шарика от числа ударов, если сила сопротивления движению пропорциональна квадрату скорости шарика с коэффициентом пропорциональности k.

Решение поставленной задачи разобьем на три этапа.

Первый этап. Движение шарика вниз до удара о плиту, нахождение времени до удара о плиту.

Второй этап. Движение шарика вверх с заданной скоростью (скорость, с которой шарик отскочит от плиты), нахождение времени наибольшей высоты подъема.

Третий этап. Дальнейшее движение шарика (повторные удары), вывод рекуррентной формулы периода колебаний шарика в зависимости от числа ударов.

Решение.

Расчетная схема первого этапа решения представленного на рис.1.

Обозначим через - соответственно путь и скорость шарика в момент времени .

Можно показать, что первый этап движения шарика можно исследовать, используя решение дифференциального уравнения:

, где (1)

удовлетворяющее начальному условию при .

Решение уравнения (1) имеет вид:

(2)

Полагая в равенстве (2)

(3)

Скорость шарика при ударе о плиту [1], найдем время падения до первого удара.

(4)

Расчетная схема второго этапа представлена на рис. 2.

Можно показать, что второй этап движения шарика можно исследовать, используя решение дифференциального уравнения

(5)

удовлетворяющее начальному условию (6)

Решение уравнения (5) имеет вид:

(7)

Полагая в равенстве (7) , найдем время наибольшего подъема шарика при первом ударе о плиту.

(8)

тогда период - время между начальной амплитудой и амплитудой - высота подъема шарика при первом ударе можно вычислить по формуле

(9)

Третий этап:

Повторяя вышеизложенное, найдем реккурентную формулу для определения периода колебаний шарика , для этого в формуле (9) вместо запишем - высота подъема при k-ом ударе шарика о плиту [1].

(10)

в виде

(11)

Проанализируем поведение амплитуды и периода колебаний для

Пусть , тогда

Оценим

Окончательно

(12)

И отношение и будет равно

(12`)

Оценим используя разложения логарифма и арктангенса в ряды с учетом первых трех и двух членов разложения, получим:

Окончательно

(13)

Можно показать, что отношение к при , равно

, при (13`)

Анализируя выражения (12`) и (13`) можно утверждать, что начиная с некоторого номера , амплитуда и период ведут себя как члены геометрической прогрессии с знаменателями соответственно и .

Для подтверждения полученных результатов рассмотрим пример.

Пусть м, м, , .

Найдем графическую зависимость и ( см рис.3 и рис. 4), а также ( см. рис.5 и рис.6).

Рис 4.

Рис 3.

Рис 6.

Рис 5.

Литература:

1. Обухов А.Н., Дмитренко И.С. Об ударных колебаниях упругого шарика, движущегося под действием силы сопротивления, пропорциональной квадрату скорости (амплитудная характеристика). MATERIALY 7 MIEDZYNARODOWEJ NAUKOWI-PRAKTYCZNEJ KONFERENJI “WSCHODNIE PARTNERSTWO-2011”, 07-15 WRZESNIA 2011 roku, Volume 6, Techniczne nauki, стр 18-21.