Технические науки/2. Механика

Адлуцкий В.Я.

Днепропетровский национальный университет им. Олеся Гончара, Украина

О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

ТЕОРИИ ИЗГИБА УПРУГИХ БАЛОК

Рассматривается обратная задача теории изгиба упругих балок об определении действующей нагрузки по заданным прогибам. Задача является модельной для более общих обратных задач пространственной теории упругости для протяженных тел и служит для апробации методик их решения.

Предполагается, что упругая балка длиной с постоянной изгибной жесткостью жестко защемлена по краям и изгибается под действием распределенной нагрузки , закон изменения которой требуется определить по известным перемещениям упругой оси . Искомые и заданные величины связаны дифференциальным уравнением изгиба упругой оси

. (1)

В случае аналитического задания перемещений задача тривиальна, однако при задании перемещений в дискретных точках некорректность задачи становится очевидной в связи с необходимостью численного дифференцирования.

Обратный оператор задачи может быть записан с помощью функции Грина

(2)

в следующем виде

. (3)

Предполагается, что перемещения заданы в узлах равномерной сетки и образуют вектор . Заменяя интеграл интегральной суммой по формуле трапеций, можно получить конечномерный аналог оператора (3)

, (4)

где – искомый вектор узловых значений нагрузки. Матрица системы линейных алгебраических уравнений (4) является симметричной положительно определенной, но весьма плохо обусловленной, вследствие чего решение неустойчиво по отношению к погрешностям задания вектора и компонентов матрицы .

При регуляризации решения системы (4) сравнивались два метода:

1) метод регуляризации А.Н.Тихонова нахождения нормального решения системы (4) с помощью решения системы , где >0 – параметр регуляризации;

2) метод разложения решения по собственным векторам матрицы с последующим отбрасыванием составляющих, соответствующих малым собственным значениям.

Как показали результаты вычислений, оба метода позволяют получать сопоставимые по точности устойчивые решения в случае известных уровней погрешности вектора и матрицы . По сути оба метода обнуляют проекцию решения на "квазиядро" матрицы . Указанная проекция является источником погрешностей тем больших, чем меньшими по модули являются собственные значения, соответствующие собственным векторам, формирующим "квазиядро".

В качестве примера приведены результаты идентификации нагрузки при неточном задании вектора перемещений в виде , где – точные значения перемещений, – случайные числа из диапазона [-1,1]; – заданная погрешность. Результаты приведены для . На рис 1а точками обозначены результаты идентификации нагрузки при решении системы (4), сплошной линией – точное значение , соответствующее вектору . Применение обоих методов регуляризации дало практически совпадающие результаты (на рис. 1б они обозначены точками). При этом относительная погрешность для первого метода при составила 1,9%, а для второго, при удержании =23 членов разложения, – 2,0%.

Исследовалось влияние на результаты идентификации точности вычисления элементов матрицы .

На рис 2а точками приведено решение системы (4) при округлении элементов матрицы до 6 значащих цифр. При этом в качестве вектора в системе (4) заданы точные значения перемещений, соответствующие кусочно-постоянной нагрузке (сплошная линия). Результаты регуляризации по обоим методам приведены на рис. 2б и рис. 2в. Точность идентификации в обоих случаях близка и составляет соответственно 2,3%. и 3,4% .