Математика/ 1. Дифференциальные и интегральные уравнения

д.ф.-м.н. Апарцин А.С., Спиряев В.А.

Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева,СО РАН Россия

Об устойчивости непрерывного решения полиномиального уравнения Вольтерра I рода

Как известно, одним из наиболее универсальных подходов к построению математической модели нелинейной динамической системы типа вход-выход является представление отклика системы на внешнее возмущение в виде интегро-степенного ряда (полинома) Вольтерра.

Пусть для определенности и – скалярные функции времени. Тогда полином Вольтерра N-ой степени имеет вид

где

В (2) функции (ядра Вольтерра) симметричны относительно переменных T – время переходного процесса. Построить модель (1), (2) – значит идентифицировать ядра с помощью откликов системы на те или иные наборы тестовых входных сигналов.

Методам идентификации ядер Вольтерра посвящена обширная литература. В частности, методика, основанная на задании специальных многопараметрических семейств кусочно-постоянных сигналов, описана в [1], [2]. Предположим, функции , уже идентифицированы каким-либо способом. Тогда в качестве следующего этапа математического моделирования может быть рассмотрена типичная задача автоматического управления в условиях отсутствия обратной связи – поиск такого входа , которому отвечает заданный (желаемый) отклик .

При заданных и (1) и (2) порождает относительно нелинейное (если ) интегральное уравнение Вольтерра I рода, которое естественно называть полиномиальным.

Общеизвестно, что линейное уравнение

в предположении, что , , имеет единственное решение при любом .

Оказывается (см., например, [3], [4]), главная специфика полиномиального уравнения

заключается в том, что его (единственное) вещественное непрерывное решение имеет локальный характер в том смысле, что величина должна быть, вообще говоря, достаточно малой.

Предполагая дополнительно, что ядра непрерывны по совокупности переменных и непрерывно дифференцируемы по t, введем следующие обозначения:

Важным инструментом исследования линейного уравнения (3) является неравенство Гронуолла-Беллмана, позволяющее оценить норму оператора , действующего из , и получить оценку устойчивости решения (3) к возмущениям правой части в норме . При исследовании (4) приходится иметь дело с нелинейным интегральным неравенством (с учетом обозначений (5)-(7))

Заменяя в (8) знак на , рассмотрим интегральное уравнение

и, если обозначить

соответствующую задачу Коши

Локальная липшиц-непрерывность отображения из C в C гарантирует для достаточно малого T>0 единственность решения (10) , а следовательно, и решения (9) , а изотонность относительно конуса влечет (см. лемму 1 из [5]) выполнение неравенства

В работе [6] для случая, когда функции не зависят от , в терминах функции Ламберта получены неулучшаемые оценки непрерывных решений неравенства (8).

На базе этих результатов в [7] доказана устойчивость к возмущениям правой части в при достаточно малом . В настоящей работе установлен аналогичный результат в общем случае (5)-(7).

Именно, справедлива следующая

ТЕОРЕМА. Пусть вместо в (4) задана функция такая, что

причем

где – решения уравнений

соответственно (в (14) удовлетворяет (9) с заменой на , ). Тогда непрерывное решение полиномиального уравнения (4) устойчиво к возмущениям правой части вида (12).

Доказательство существенно используют свойство неубывания и строго возрастания и , обеспечивающие существование и единственность решений (13), (14).

Работа поддержана грантом РФФИ (проект 09-01-00377).

Литература:

1. Апарцин А.С. О новых классах линейных многомерных уравнений I рода типа Вольтерра // Изв. вузов. Математика. – 1995. – № 11. – C. 28–41.

2. Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы. – Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1999. – 193 с.

3. Апарцин А.С. О полилинейных уравнениях Вольтерра I рода // Автоматика и телемеханика. – 2004. – № 2. – С. 118–125.

4. А.С. Апарцин. Полилинейные интегральные уравнения Вольтерра I рода: элементы теории и численные методы // Известия Иркутского государственного университета. Серия «Математика». Специальный выпуск, посвященный столетию со дня рождения проф. В.В Васильева. - Иркутск, 2007. – № 1. – С. 13–41.

5. A.S. Apartsyn. Unimprovable estimates of solutions for some classes integral inequalities // Inverse and Ill-posed Problems, 2008, V. 16, № 7, pp. 561–590.

6. Апарцин А.С., Спиряев В.А. О неулучшаемых ламберт-оценках решений одного класса нелинейных интегральных неравенств // Тр. Института математики и механики УрО РАН. – Екатеринбург: ИММ УрО РАН. – 2010. – Т. 16, № 2. – С. 3–12.

7. Апарцин А.С. К исследованию устойчивости решения полиномиального уравнения Вольтерра I рода // Автоматика и телемеханика. – 2011. – № 6 – С. 95–102.