Шелудяков С.С

Івахненко Н.М

ЗАСТОСУВАННЯ ПОНЯТТЯ МЕЖ ФУНКЦІЇ В ЕКОНОМІЧНИХ РОЗРАХУНКАХ

Ряд фундаментальних понять вищої математики є базою математичного інструментарію в економіці. В основу аналізу деяких економічних факторів покладена методика процентних обчислень. Використання цих методів широко поширене у фінансовому та інвестиційному аналізі при розрахунках відсотків за кредитами і цінними паперами, в задачах про зростання банківського вкладу, при стягненні податків. Залежно від умов проведення фінансових операцій (розміру вкладу та строку його розміщення), як нарощення, так і дисконтування, можуть здійснюватися із застосуванням простих, складних або безперервних відсотків. У практичних розрахунках в основному застосовують дискретні відсотки, тобто відсотки, які нараховуються за фіксовані однакові інтервали часу (рік, півріччя, квартал і т. д.). Час - дискретна змінна. [1, с.13]

Приклад економічних розрахунків: Хай в кінці кожного року протягом чотирьох років в банк вноситься по 1 млн. грн, відсотки нараховуються в кінці року, ставка - 5% річних. В цьому випадку перший внесок відтвориться до кінця терміну ренти у величину 10⁶ × 1,05³ оскільки відповідна сума була на рахунку протягом 3 років, другий внесок збільшиться до 10⁶ × 1,05², оскільки був на рахунку 2 роки. Останній внесок відсотків не приносить. Таким чином, в кінці терміну ренти внески з нарахованими на них відсотками уявляють ряд чисел: 10⁶ × 1,05³; 10⁶ × 1,05²; 10⁶ × 1,05; 10⁶. Нарощена до кінця терміну ренти величина дорівнюватиме сумі членів цього ряду. Узагальнимо сказане, виведемо відповідну формулу для нарощеної суми річної ренти. Позначимо: S - нарощена сума ренти, R - розмір члена ренти, i - ставка відсотків (десятковий дріб), n - термін ренти (число років). Члени ренти приноситимуть відсотки протягом n - 1, n - 2..., 2, 1 і 0 років, а нарощена величина членів ренти складе

R (1 + i)^{n - 1}, R (1 + i)^{n - 2},..., R (1 + i), R.

Перепишемо цей ряд в зворотному порядку. Він є геометричною прогресією із знаменником (1+i) і першим членом R. Знайдемо суму членів прогресії. Отримаємо:

S = R×((1 + i)ⁿ - 1)/((1 + i) - 1) = R×((1 + i)ⁿ - 1)/ i.

Позначимо

S_{n; i} = ((1 + i)ⁿ - 1)/i

і називатимемо його коефіцієнтом нарощування ренти. Якщо ж відсотки нараховуються m разів у році, то

S = R×((1 + i/m)^mn - 1)/((1 + i/m)^m - 1),

де i - номінальна ставка відсотків.

Величина

a_{n; i} = (1 - (1 + i)^{- n})/

i називається коефіцієнтом приведення ренти. Коефіцієнт приведення ренти при n →∞ показує, у скільки разів сучасна величина ренти більше її члена:

lim a_{n; i} = lim (1 - (1 + i) ^{- n})/ i =1/i.

n→∞ n→∞

[2, с.176]

В деяких випадках - у доказах і розрахунках, пов'язаних з безперервними процесами, виникає необхідність у застосуванні неперервних відсотків.У фінансово-кредитних операціях безперервні процеси нарощення грошових сум, тобто нарощення за нескінченно малі проміжки часу, застосовуються рідко. Істотно більше значення безперервне нарощення має у кількісному фінансово-економічному аналізі складних виробничих і господарських об'єктів і явищ, наприклад, при виборі і обґрунтуванні інвестиційних рішень. Необхідність у застосуванні безперервного нарощення (або безперервних відсотків) визначається, насамперед, тим, що багато економічних явищ за своєю природою неперервні, тому аналітичний опис у вигляді безперервних процесів більш адекватний, ніж на основі дискретних. [3, с.56]

Таким чином,необхідно аналізувати застосування поняття межі, що відображають специфіку економічних розрахунків. Вирішення цих завдань, що ілюструють додаток досліджуваної математичної теорії в економіці, дозволяє на конкретних прикладах побачити, як абстрактні математичні поняття і факти можна ефективно застосовувати до вирішення завдань в профільної дисципліни.

Література:

1. Баврин И. И., Матросов В. Л. Общий курс высшей математики. М.: Просвещение, 2008. С- 354

2. Четыркин Е. М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, Business Речь, 2006.С- 114

3. Рональд Л. Грэхем, Дональд Э. Кнут, Орен Паташник , 2010.С- 257