Математическое моделирование

У.Ш. Рзаева

Институт Кибернетики Академии наук  Азербайджана

 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНФОРМАТИВНЫХ ПРИЗНАКОВ И ИХ СОЧЕТАНИЙ  В РАМКАХ ФОРМАЛЬНОЙ ТЕОРИИ FLb

Представлен способ моделирования информационных сочетаний признаков, посредством которых происходит распознавание образов в задачах кластерного анализа с помощью  нечеткой логики в широком смысле (FLb). Нечеткие признаки принимают лингвистические значения, поэтому определяется специальный класс лингвистических синтагм в FLb. Также рассмотрены правила ЕСЛИ-ТО в терминах условных клауз.

 

1.     Постановка задачи

Для современной математической логики постановка задач моделирования и анализа "модифицируемых" рассуждений плохо совместима с ее методами и исходными предпосылками. Эти и многие другие несоответствия между математической логикой и естественными рассуждениями стали для многих логиков в разных странах мощным стимулом к поиску альтернативных формальных логических систем [2]. Появилось большое число новых "неклассических" логик, среди которых отметим нечеткую логику и нечеткую логику в широком смысле.

Нечеткая логика в широком смысле (FLb) имеет возможность расширить возможности классической логики в тех областях, где классическая логика  не может дать удовлетворительных решений [14]. Существуют некоторые проблемы, связанные с естественным языком, для которого посредством FLb можно построить лучшую модель, нежели это возможно в классической логике, так как  FLb нацелена на создание математической модели естественных человеческих рассуждений, в которых принципиальную роль играет человеческий язык. В данной работе приведен способ моделирования суждений естественного языка при помощи FLb, которые используются для проведения операции нечеткого логического вывода, в том случае, если мы имеем базу правил, содержащую нечеткие высказывания в форме "ЕСЛИ-ТО" и функции принадлежности для соответствующих лингвистических термов.

 

 

2.     Методы решения

Логические методы распознавания образов базируются на аппарате алгебры логики и позволяют оперировать информацией, заключенной не только в отдельных признаках, но и в сочетаниях значений признаков. Варьирование информативности какого-либо признака осуществляется разными средствами, главным среди которых является синтагматическое членение [6,7]. Наиболее информативные элементы смысла, описывающие отношения, возникают только на уровне синтагм, выделение которых требует применения нетривиальных алгоритмов синтаксического анализа [3].

Существуют три концепции в логическом анализе естественного языка: интенсивность, расширение и возможный мир.

Возможным миром называется категория модальной логики, используемая для установления истинности или ложности модальных высказываний. В общих чертах возможный мир можно интерпретировать как возможное положение дел, либо возможное развитие событий. Возможный мир может быть расширен за счет вовлечения тех языковых средств, которые предоставляют право выбора при расшифровке смысла сказанного [1].

Интенсионалом называется совокупность мыслимых признаков обозначаемого понятием предмета или явления, которая может привести к различным значениям истинности в различных возможных мирах [8].

Экстенсионалом является множество элементов, определенное одной интенсионалом, который входит в значение синтагм в данном возможном мире [8].

Для отражения сути поставленной задачи приведем некоторые определения.

Определение 1. Пусть A  является оценочной синтагмой, то есть выражающей какую-либо оценку. Тогда синтагма

  A

называется оценочным предикатом.

Та часть естественного языка, которую мы будем рассматривать далее, включает в себя множество  лингвистических синтагм. Предполагаем, что  может изменяться по мере необходимости.

Фиксируем некоторый многосортный язык , который имеет конечное число сортов  и ставим в соответствие синтагмы из  элементам . - множество корректно построенных формул соответствующих синтагм.

Определение 2. Пусть A   является синтагмой, а A является соответствующей ей формулой. Тогда множество

AA,

где - множества термов вычислимых формул, называемых мультиформулой, является интенсионалом A.

Определение 3. Пусть Ai  ,i=1,…,m  являются синтагмами с интенсионалами Ai. Формальная теория FLb есть

                             T ={ A0[A0],…, Am[Am]}.                                       (1)

Так как интенсионалы являются мультиформулами, теория T  в (1) примыкает к нечеткой теории в узком смысле (FLn) T:

T = BT A0 …Am                                                  

где BT  является вспомогательной нечеткой теорией или теорией натуральных чисел [12]. Общую схему формальной теории T  формируем, используя естественный язык, при этом она ставится в соответствие нечеткой теории T в FLn. Затем в FLn производятся выводы. Результатом будет некоторая мультиформула, которую можно рассматривать как наиболее точную интенсивность соответствующей синтагмы, являющуюся выводом в FLb. Таким образом, все основные операции FLb могут трансформироваться в FLn.

Введем специальную синтагму

R := “<существительное>1 в отношении с “<существительное>2”

с интенсионалом

R={rts/Rx,y[t,s]|t},

где R является некоторым бинарным предикатным символом.

Определение 5. Пусть T  является теорией в FLb. Лингвистическое утверждение A, которое может являться условной клаузой, верно в T , если оно имеет интенсионал

AA.

Данное отношение можно рассматривать как некоторое группирование пар элементов [5]. Разложим его на пары и характеризуем каждую из пар элементов, используя оценочные утверждения

“<существительное>1 есть  A  и <существительное>2 есть B ” ,

где <существительное>1 есть имя первого элемента каждой пары, а <существительное>2 - имя второго. Таким образом, каждая из рассматриваемых частей может быть описана на естественном языке с использованием условной клаузы вида

P  :=ЕСЛИ <существительное>1 есть A  и

<существительное>2 есть B , ТО R,

что может быть интерпретировано как вывод информативных сочетаний при формировании набора кластеров [4, 10].

Определение 5.

I. Пусть C := “<существительное> есть  A  ” является оценочным предикатом, - переменная, соответствующая   <существительное>, и интенсивность A  есть A<x>. Тогда интенсионал C  есть

C<x>  :=  A<x>

II. Пусть A   и B  являются оценочными предикатами с интенсионалами A<x> и B<у>  соответственно. Тогда интенсионал составного оценочного предиката C := “A   и B ” есть

C<x,у>  :=  A<x>B<у>= ,

где  является t-нормой соответствующей связке . Аналогично определяется  интенсионал составного оценочного предиката C := “A  или B ”, которой поставлена в соответствие связка , интерпретирующая s-конорму.

III. Пусть A   и B  являются оценочными предикатами с интенсионалами A<x> и B<у>  соответственно. Тогда интенсионал условной клаузы C := “ЕСЛИ A , ТО B ” есть

C <x,у>  :=  A<x>B<у> = .

Следующая лемма определяет условия, при которых можно получить максимальную степень выводимости при использовании импликаций [12].

Лемма. Пусть  и , где - переменная сорта , - переменная сорта являются формулами. Пусть

является нечеткой теорией. Тогда является непротиворечивой и

├

Эта лемма определяет степень выводимости в случае, когда некоторое соотношение получено дизъюнкцией конъюнкций некоторых формул.

Особую роль в нечеткой логике играют условные клаузы

ЕСЛИ A , ТО B,

являющиеся импликациями, описанными на естественном языке и используемые для описания динамических процессов или моделей принятия решения. Множество таких утверждений называется лингвистическим описанием.  

Определение 5. Пусть Aj, Bj  являются оценочными предикатами с соответствующими интенсионалами  Aj, Bj. Тогда лингвистическое описание в FLb есть либо конечное множество LDI, либо  конечное множество LDА следующих высказываний

LDI ={R ,…, R },

где R =ЕСЛИ A j  ТО  B j, j=1,…,m   являются условными клаузами,

и

LDА ={R ,…, R },

где R = A j  И  B j, j=1,…,m  являются составными оценочными предикатами.

Из этих рассуждений следует, что в FLb существуют два метода работы с лингвистической переменной. Первый из них работает с лингвистическим описанием LDI, состоящим из сформулированных на естественном языке логических импликаций.  Второй метод основывается на дополнительном предположении и работает с лингвистическим описанием LDA, состоящем из конъюнкций лингвистических предикатов. Описание LDI используется, когда необходимо вывести утверждения из некоторых фактов, тогда как описание LDА применяется, когда существует надобность описать отношение или функцию.

Следующая теорема доказывает, что при рассмотрении правила ЕСЛИ-ТО в качестве условных клауз, которые образованы из простых оценочных предикатов, то основанное на них правило дедукции дает наилучший вывод в нечеткой теории, определенной ими [9,11, 13].

Теорема. Пусть имеем  лингвистическое описание LDI, состоящее из m правил ЕСЛИ-ТО и оценочного утверждения A k из какого-либо правила из LDI. Пусть A является возможной модификацией  A k такой, что направление ее интенсионала A’k,<x> может изменяться в пределах Ak,<x> в некоторых оценках. Пусть

Т={A , LDI}

является теорией в FLb. Тогда можно получить вывод  B  с интенсионалом

B’k,<y>= ,

такой что все в мультиформуле B’k,<y>  являются максимальными.

Доказательство. Теория T определяет нечеткую теорию

{A’k,<x>, Aj,<x>⟹Bj,<y>|j=1,…,m}=,

где  в соответствие с определением 4 (III). Так как правила ЕСЛИ-ТО из LDI состоят из простых оценочных предикатов, то их можно перевести в термины языка . Тогда утверждение теоремы следует из вышеприведенной леммы.

 

Литература

1.     Вардзелашвили Ж. «Возможные миры» текстуального пространства // Труды Санкт-Петербургского государственного университета, № VII, 2003, с. 37-45

2.     Гуц А.К. Математическая логика и теория алгоритмов. Учебное пособие. Омск. 2003-108 с.

3.     Ермаков А.Е., Плешко В.В. Синтаксический разбор в системах статистического анализа текста. // Информационные технологии. - 2002. – N 7. – С. 30-34.

4.     Керимoв А.К., Давудова Р.И. Эволюционный алгоритм  для решения задачи автоматической классификации. // Искусственный интеллект и принятие решений. Институт системного анализа РАН. № 4, 2009, с. 74-79.

5.     Керимoв А.К., Рзаева У.Ш. Кластеризация объектов с помощью лингвистических описаний в рамках теории FLb // Искусственный интеллект и принятие решений. Институт системного анализа РАН. № 3, 2011, с. 11-16.

6.     Розенталь Д. Э. и др. Словарь лингвистических терминов http: //www.gumer.info/bibliotek_Buks/Linguist/DicTermin/s_1.php

7.     Фомичев В.А. Метод формального описания содержания сложных естественно-языковых текстов и его применение к проектированию лингвистических процессоров, 2004.

8.     Gallin D. Intensional and higher-order modal logic. Amsterdam, North Holand Publishing Company, 1975

9.     Hajek P. Mathematics of fuzzy logic. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1998.

10. Kerimov A.K., Rzayeva U. Sh. Fuzzy interpolation of partial functions of membership, characterizing affinity of objects to each other and objects to the class / Proceedings ICAFS’, Prague,  2010, pp. 229-234.

11. Mamdani E., Assilian S. An experiment in linguistic synthesis with a fuzzy logic controller // International Journal of Man-Machine Studies, vol. 7, № 1, 1975, pp. 1-13.

12. Novak V., Perfilieva I., Mockor J. Mathematical principles of fuzzy logic. Kluwer Academic Publisher, 1999.

13. Novak V., Perfilieva I. On model theory in Fuzzy Logic in broader sense / Proceedings FUZZ-IEEE’97, Barcelona, 1997, pp. 693-698.

14. Zadeh L.A. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning I, II, III. // Inf. Sci., № 8, pp. 199-257, 301-357; № 9, 1975, pp. 43-80.