Математика

Серенко Л.В.

Муниципальное образовательное учреждение

"Средняя общеобразовательная школа № 1 с углубленным изучением отдельных предметов г. Котово Котовского муниципального района Волгоградской области".

Программа предпрофильной подготовки по математике

«12 способов решения квадратного уравнения»

Пояснительная записка

Элективный курс предназначен для предпрофильной подготовки учащихся 8-9 классов общеобразовательной школы. Он расширяет и углубляет базовую программу по математике, не нарушая её целостности. Данный курс поддерживает изучение основного курса математики и способствует лучшему усвоению базового курса, обобщая и систематизируя способы решения квадратного уравнения. Навыки решения квадратного уравнения необходимы каждому ученику, желающему хорошо подготовиться для успешной сдачи экзаменов, а также будет хорошим подспорьем для успешного усвоения математики в старших классах. Предложенная тема курса очень важна для изучения курса математики средней школы. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики. Например, при изучении следующих тем:

8 класс – решение задач на составление квадратных уравнений;

9 класс – разложение квадратного трёхчлена на множители; квадратичная функция и её график; неравенства второй степени с одной переменной;

10 класс – тригонометрические уравнения и неравенства, применение производной к исследованию функции;

11 класс – интеграл, площадь криволинейной трапеции, иррациональные уравнения; показательные уравнения и неравенства; логарифмические уравнения и неравенства.

Цели и задачи курса:

- обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Решение квадратных уравнений»;

- познакомить учащихся с некоторыми нестандартными способами решения квадратных уравнений, не рассматриваемых в школьном курсе алгебры, но значительно облегчающих решение некоторых видов квадратных уравнений.

Данный курс рассчитан на 17 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу учащихся. Предлагаемые задачи различны по уровню сложности. Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале. Предлагаемый курс имеет прикладное и общеобразовательное значение. Он способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, творческих способностей, графических навыков, интереса к предмету.

Учебно-тематический план

№ п/п	Наименование тем	Количество часов
1	Определение квадратного уравнения. Графический способ решения квадратного уравнения вида х^2= ах + в..	1
2	Графический способ решения квадратного уравнения вида (х - т)^2+ п = 0.	1
3	Графический способ решения квадратного уравнения, используя график квадратичной функции.	1
4	Аналитический способ решения квадратного уравнения. Решение неполных квадратных уравнений.	1
5	Аналитический способ решения квадратного уравнения, применяя метод разложения на множители.	1
6	Аналитический способ решения квадратного уравнения, выделением квадрата двучлена.	1
7	Аналитический способ решения квадратного уравнения по формуле.	1
8	Аналитический способ решения квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом.	2
9	Аналитический способ решения квадратного уравнения, используя теорему Виета и обратную ей.	2
10	Аналитический способ решения квадратного уравнения, для которых а+в+с=0 или а+с=в	2
11	Аналитический способ решения квадратного уравнения методом переброски коэффициентов	1
12	Практическая работа по решению квадратного уравнения разными способами	2
13	Защита презентаций, подготовленных учащимися	1

Методические рекомендации по изучению курса.

Тема 1. Определение квадратного уравнения.

Начать занятие следует с краткого изложения содержания элективного курса. Кратко рассказать об истории квадратных уравнений. Акцентировать внимание учащихся на том, что на занятиях им предстоит не только обобщить уже имеющиеся знания, но и познакомиться с новыми способами решения различных видов квадратных уравнений. Так как на занятии могут оказаться учащиеся из разных классов, с различной математической подготовкой, то начать нужно с повторения определения квадратного уравнения, его коэффициентов.

На занятии учащимся могут быть предложены следующие задания:

1. Является ли квадратным уравнение: 2,9х² – 3х - 7=0, 15х² + х³ – 4=0, +х-8=0; 4х-х²+1=1; 7+3х-5х²=0, 6²+6х-3=0; 3х-2=0, 5х²+2х – 9 – 5х²=0? В квадратных уравнениях назовите коэффициенты.

2. Решите графически уравнения: х²+х-2=0; х²=-х+6; х²-х=6; х=х²-2.

Тема 2. Графический способ решения квадратного уравнения вида

а(х - т)² + п = 0.

Учащиеся 8-9 классов уже знакомы с графиком функции у=х², то можно использовать преобразование этого графика на координатной плоскости. Для этого сначала рассмотреть простейшие случаи у=х²+п, у=(х - т)², а затем перейти к случаю у= а(х - т)² + п.

Решите графически уравнения: (х - 2)² + 3 = 0, - (х - 3)² + 5 = 0, (х + 3)² -4 =0,

- (х + 4)² - 2 = 0, (х + 4)² = 0, - (х - 3)² = 0, (х - 5)² = 0,

Тема 3. Графический способ решения квадратного уравнения, используя график квадратичной функции.

На занятии учащимся могут быть предложены следующие задания:

Решите графически уравнения: х²-6х+5=0; -2х²+4х+6=0; -х²+6х-8=0; х²+2х-3=0, х²-4х+3=0, х²-2х+8=0, х² -4х-5=0, х²-8х+7=0, х²-8х+12=0, 2х²-12х+10=0, 3х²-12х+9=0.

Построив график соответствующей квадратичной функции, учащиеся могут найти абсциссы точек пересечения этого графика с осью абсцисс. Эти числа и являются корнями соответствующих уравнений.

Тема 4. Аналитический способ решения квадратного уравнения. Решение неполных квадратных уравнений.

Решите уравнения: 5х²+х=0, 8х² +5=0, 3х² -2=0, 2х²+3х=0, 1-4х²=0, 2х² -6=0,

3х² -2=0

Тема 5. Аналитический способ решения квадратного уравнения, применяя метод разложения на множители.

При решении квадратных уравнений часто применяется метод разложения на множители (с помощью вынесения за скобки общего множителя, формул сокращенного умножения, способа группировки).

Пример 1. Решите уравнение 3х²+2х-1=0. Воспользуемся способом группировки, представив 2х в виде разности 3х и х.

3х²+2х - 1=0, 3х²+3х – х – 1=0, 3х(х+1) – (х+1)=0, (х+1)(3х – 1)=0,

х+1=0 или 3х – 1=0,

х= - 1 х=. Ответ: - 1, .

Пример 2. Решите уравнения: х²+8х+15=0, х²+3х+2=0, х²-5х+6=0,

х²+7х+12=0, х²+6х+8=0, х²-8х+15=0.

Тема 6. Аналитический способ решения квадратного уравнения, выделением квадрата двучлена.

Пример 1. Решите уравнение х²+10х+25=0.

Решение. Применим формулу квадрата суммы, получим (х+5)² =0, х+5=0, х=-5.

Ответ: -5.

Пример 2. Решите уравнение х²+8х-1=0.

Решение. х²+2∙4х-1=0, х²+2х∙4+16=16+1, (х+4)²=17,

х+4=- или х+4=,

х= - 4 - или х= - 4+. Ответ: - 4 -, - 4 +

Решите уравнение, выделением квадрата двучлена

х²-8х+7=0, 3 х²+7х-26=0, х²-6х+5=0, 4х²-11х-3=0,

х²-8х-9=0, 3х²+11х-4=0, х²-4х-5=0, 5х²+9х-2=0,

х²-10х=11, 3х²-14х-5=0, х²-6х+9=0, 4х²+4х+1=0,

х²+8х+14=9, х²-12х+36=7, х²+4х+4=6, 2х²-9х+10=0.

Тема 7. Аналитический способ решения квадратного уравнения по формуле.

Учащимся можно предложить тренажер решения квадратных уравнений. Ключом к тренажеру служит русский алфавит. Решив, например, уравнения х²-31х+240=0 и х²-21х+20=0, ученик получает числа 15, 16, 20, и 1, которые соответствуют буквам н, о, т и а русского алфавита. Из этих букв ученик составляет слово. Это слово является словом контроля правильности решения уравнения.

1. х²-9х+18=0, х²-29х+190=0, х²-33х+270=0, х²-9х+8=0.

2. х²-25х+144=0, х²-29х+208=0, х²-36х+320=0.

3. х²-34х+288=0, х²-38х+165=0.

4. х²-45х+450=0, х²-52х+640=0, х²-31х+240=0.

5. х²-32х+220=0, -х²+19х-90=0, 2х²-26х+24=0.

6. х²-35х+306=0, х²-36х+320=0, х²-31х+240=0.

7. х²-30х+224=0, х²-42х+405=0, 2х²-70х+608=0, 3х²-150х+1800=0.

Лист контроля:

1 Вернисаж.

2. Золото.

3. Ядро

4. Ньютон

5. Физика

6. Протон

7. Мощность.

Тема 8. Аналитический способ решения квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом.

Квадратные уравнения, у которых второй коэффициент является четным числом, можно записать в виде ах²+2кх+с=0. Для него удобнее использовать формулы D₁=к²-ас, х=.

Найдите корни уравнения:

3х²+4х-39=0, 34х²+10х-6=0, 5х² - 4х-12=0, 7х²+6х-1=0, 1+8х=9х², 3х²-4х+2=0, 5х²+8х-4=0, х²-6х+7=0, х^-2-4х+3=0, 5х²+14х-3=0, х²-2х-2=0.

Тема 9. Аналитический способ решения квадратного уравнения, используя теорему Виета и обратную ей.

Пример 1. Найдите корни уравнения х² - х - 12=0.

Решение. Пусть х₁ и х₂ - корни уравнения. Тогда х₁ + х₂=1 и х₁ ∙ х₂=-12. Если х₁ и х₂ – целые числа, то они являются делителями числа – 12. Учитывая также, что сумма этих чисел равна 1, нетрудно догадаться, что х₁= - 3 и х₂=4.

Ответ: - 3, 4.

Найдите корни уравнения: х²-9х+20=0, х²+11х-12=0, х²+х-56=0, х²-19х+88=0, х²+16х+63=0, х²+2х-48=0, х²-х+12=0, х²+3х-40=0, х²+8х+15=0.

Тема 10. Аналитический способ решения квадратного уравнения, у которых а+в+с=0 или а+с=в.

При решении уравнения ах²+вх+с=0 (а0) можно пользоваться следующими правилами.

1. Если а+в+с=0, то х₁ =1, х₂=.

2. Если а+с=в, то х₁ = - 1, х₂= - .

Докажем утверждение 1. разделим обе части уравнения на а0:

х²+ х+ =0. По теореме Виета х₁ + х₂= - , х₁ ∙ х₂=. Так как а+в+с=0, то в= - а – с, тогда х₁ + х₂= 1+ , х₁ ∙ х₂=1∙. Значит, х₁ =1, х₂=.

Решите уравнения, используя утверждения 1 или 2(устно).

2х²+3х-5=0, 3х²+7х-10=0, 3х²-5х+2=0, 2х²+3х+1=0, 5х²+9х-14=0, 19х²+15х-34=0, х²-2008х-2009=0, -2009х²-2008х+1=0, 2х²+3х+1=0, 12х²+7х-5=0.

Тема 11. Аналитический способ решения квадратного уравнения методом переброски коэффициентов.

Пусть дано квадратное уравнение ах²+вх+с=0. Умножим обе части на а, получим: а²х²+авх+ас=0. Введём новую переменную: пусть ах=у, тогда х=. Получим уравнение у²+ву+ас=0, равносильное данному уравнению. Его корни у₁ и у₂ найдём с помощью теоремы, обратной теореме Виета; тогда х₁=, х₂=. Приведем примеры, в которых используется метод переброски.

Пример 1. 6х²+5х+1=0.

Решение. Перебросив коэффициент 6 к свободному члену, получим: у²+5у+6=0. По теореме, обратной теореме Виета,

у₁=-2, х₁= - = - ,

У₂=-3, х₂= - = - . Ответ: -; -.

Пример 2. х² - 16х+3=0.

Решение. Перебросив коэффициент к свободному члену, получим уравнение у² - 16у+3()²=0, у² - 16у+15=0. Поскольку а+в+с=0, то у₁=1, У₂=15, тогда х₁= = , х₂= = =3. Ответ: ; 3.

Пример 3. 4х² – (4+)х+1=0.

Решение. Используя метод переброски, получим у² - (4+) у+4 =0.

По теореме, обратной теореме Виета, у₁=4, у₂=, отсюда следует, что х₁= = , х₂= =. Ответ: , .

Тема 12. Практическая работа по решению квадратного уравнения разными способами.

На этом занятии можно предложить учащимся составить план-презентацию способов решения квадратных уравнений.

Можно предложить решить уравнение различными, изученными способами.

Тема 13. Защита презентаций, подготовленных учащимися.

Литература:

1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра 8. – М.: Просвещение, 2007.

2. Таланова А.А., Антонова Н.С. Алгебра 8, карточки-задания. – М.: Владос, 2003.

3. Зив Б.Г., Гольдич В.А. Дидактические материалы, алгебра 8. – С.-Петербург: ЧеРо-на-Неве, 2002.

4. Скакунова Л.А. Урок-конференция по теме «Нестандартные приемы решения квадратных уравнений». //Математика в школе, 2008, № 6.

5. Кривоногов В. 148 «хороших» графиков квадратичной функции.//Математика, 2002, № 22.

6. Антипенкова Е. Самостоятельная работа. Тема: «Графический способ решения уравнений»//Математика, 2004, № 25-26.

7. Шаталова С. Квадратные уравнения. Способы решения. //Математика, 1996, № 21.

8. Батаева Т. Изучаем квадратные уравнения//Математика, 2004, № 27-28.

9. Самойлова В. Урок-практикум по теме «Построение графика квадратичной функции» //Математика, 2007, № 8.

10. Мельникова Т. П. Устное решение квадратных уравнений.//Математика, 1997, № 10.

11. Куценко Е. Решение неполных квадратных уравнений.//Математика, 2004, № 4.

12. Малова В. Квадратные уравнения: два частных случая.// Математика, 2006, № 19.