Технические науки/2. Механика
Ободан Н.И., Адлуцкий В.Я.
Днепропетровский национальный университет им. Олеся Гончара, Украина
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТРЕЩИН
В ТОНКИХ ПЛАСТИНАХ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
Существующие методы
диагностики дефектов в тонкостенных системах базируются на анализе их
динамических характеристик (ультразвук, вибродиагностика, электромагнитные
колебания и т.д.). Связь этих характеристик с реальными свойствами системы
определяется с помощью решения обратной динамической задачи механики
деформируемого тела.
Рассматривается задача об
определении геометрических параметров трещин в тонких пластинах по известным
значениям их частотных характеристик.
Последние определяются с помощью конечно-элементной аппроксимации
(1)
где (H) –
i-я собственная частота
колебаний пластины с трещиной;
,
– матрицы жесткости и масс;
– вектор
-й собственной формы колебаний,
– вектор координат
узлов вершин трещины;
– количество собственных
частот. Вектор H является решением системы
нелинейных уравнений
, (2)
где – известные
(измеренные) значения собственных частот колебаний пластины с трещиной.
Линеаризация уравнений (2) позволяет применить для их решения итерационный
метод Ньютона в виде
(3)
где
. Соотношение (3) записано для общего случая
и обеспечивает
минимум квадратичной нормы невязки для системы
линейных
алгебраических уравнений
(4)
с неизвестными на
каждой итерации.
i=15
В
качестве примера рассматривается идентификация прямолинейной трещины в тонкой
круговой пластине, жестко защемленной по контуру. Разыскивается 4-мерный вектор
, где А и В – вершины трещины, Oxy– декартова система координат
с началом в центре пластины. Параметры пластины выбраны следующим образом:
радиус R=100 мм, толщина h=0.26 мм, модуль упругости
кГ/мм2, коэффициент Пуассона
, плотность
кг/мм3. В качестве известных (измеренных) частот выбрано
Q=50 первых собственных
частот пластины с трещиной. На рис.1 представлены собственные формы колебаний
для 5-й и 15-й частот.
i=5 |
Рис.1 5-я и 15-я собственные формы колебаний
пластины с трещиной
Из соображений симметрии очевидно, что без дополнительной информации
положение трещины может быть идентифицировано лишь с точностью до поворота
вокруг центра О и/или зеркального
отражения. На рис. 2 приведены результаты идентификации по частотам,
соответствующим трещине АВ. При
начальном приближении после 10 итераций
положение трещины
с точностью до 1%
соответствует жесткому повороту трещины АВ.
Рис.2
Результаты идентификации после 10-й итерации
|
Определенное представление о поведении итерационного процесса в пространстве
Н дает рис. 3, где приведены значения
функционала невязки =
в гиперплоскости
для
, соответствующих трещине
. В условиях очевидной овражной структуры с наличием
локальных минимумов решение о достижении истинного минимума принимается исходя
из уровня значений функционала невязки.
Рис.3 Значения функционала
невязки в гиперплоскости
|
Характер сходимости итерационного процесса в указанной гиперплоскости
при начальных приближениях и
приведен на рис. 4.
|
Рис.4
Характер сходимости итерационного процесса в гиперплоскости