Экономические науки/8. Математические методы в экономике

К.ф.-м.н.   Попова Н.В.

ГОУ ВПО «Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова»

Рыночные теоремы как математические

Известны пять рыночных теорем, связанных с оценкой облигаций (Шарп,  [1], стр.456-458). Это теоремы о поведении цены облигации при изменении ее доходности к погашению и о зависимости размера премии или дисконта от срока до погашения. Эти теоремы сформировались на основе рыночных наблюдений и изначально являлись эмпирическими. Позже они были сформулированы как математические теоремы и доказаны с помощью математических методов [3,4]. Возникает вопрос: для чего нужны математические доказательства? Что они дают нового? 

Методология применения математических методов состоит в следующем. Чтобы получить математическое доказательство какого-нибудь свойства объекта инвестирования, необходимо сформулировать это свойство и условия, при которых оно выполняется. После того, как утверждение доказано, оно приобретает характер объективной реальности (в тех условиях, при которых оно доказано) и может быть использовано при решении других задач, теоретических и практических, с поправкой на условия. Например, иммунизирующее свойство дюрации Маколея, доказанное при условии горизонтальности временной структуры процентных ставок и параллельности ее перемещений, привело к появлению стратегии иммунизации портфеля облигаций [1,2].

Таким образом, наличие математического доказательства некоторого утверждения о свойствах объекта инвестирования изменяет статус этого утверждения. Это уже не просто утверждение на основе отдельных, хотя и часто встречающихся наблюдений. Доказанное утверждение отражает объективно существующее явление, проявляющееся при определённых условиях. Кроме того, математический аппарат позволяет глубже изучить объект инвестирования. Например, теорема о зависимости цены облигации от срока до погашения ([4], стр. 126-128). В работе [4] доказано не только само утверждение о поведении цены облигации при фиксированной доходности, но и установлен характер зависимости цена – срок до погашения. При условии неизменности доходности к погашению цена облигации, продающейся с премией (с дисконтом), является вогнутой (выпуклой) функцией целочисленной неотрицательной переменной. Рыночные теоремы 2 и 3 о поведении размера премии или дисконта, сформулированные в [1], можно рассматривать как следствие данной теоремы.

Представление рыночных теорем как математических потребовало сформулировать условия, при которых утверждения теорем верны, и предложить подходящий математический аппарат. Общими для всех теорем являются условия определенности: облигация не имеет кредитного риска и не может быть отозвана эмитентом до установленной даты погашения. Для доказательств в [3, 4] использованы следующие теоремы из математического анализа: критерий монотонности дифференцируемой функции, теорема Лагранжа, критерий выпуклости дважды дифференцируемой функции. В доказательствах теорем получены зависимости от доходности или срока до погашения как для абсолютного, так и для относительного (процентного) изменения цены облигации. Сами рыночные теоремы в [1] рассматривают в основном абсолютную величину изменения цены облигации. Однако именно процентное изменение цены облигации интересует инвестора прежде всего.

Математические доказательства свойств облигации иногда позволяют объяснить, с чем эти свойства связаны. Например, теорема о зависимости величины изменения цены облигации от направления изменения её доходности ([4], стр. 129-130). Теорема доказана на базе указанных выше математических теорем. Одновременно получено и объяснение доказанного свойства цены облигации. Из доказательства теоремы следует, что свойство объясняется выпуклостью зависимости цена – доходность. 

Следующее утверждение, сформулированное в [2] (стр. 507), является естественным продолжением рыночных теорем в [1]. Оно посвящено влиянию уровня процентных ставок рынка на величину изменения цены облигации при изменении её доходности. Согласно [2], «Чем выше уровень доходности, тем ниже изменчивость цены». Изменчивостью цены называют относительное изменение цены облигации при изменении рыночной процентной ставки.  Математическая теорема для доказательства данного утверждения имеет следующий вид:

Теорема.   Чем выше уровень процентных ставок рынка, тем меньше абсолютное и относительное изменение цены облигации при изменении ее доходности на заданную величину.

Доказательство. Пусть для определённости доходность облигации увеличилась на величину Δr > 0. Требуется доказать, что  абсолютное ΔP(r) = P(r) – P(r + Δr) и относительное  снижения цены облигации при увеличении ее доходности на величину Δr > 0 − убывающие функции r,  где r – исходный уровень доходности.

Дифференцируем: (ΔP(r))/ = (P(r))/ – (P(r + Δ r))/ < 0,  поскольку P(r) − выпуклая функция и её производная P/(r) – возрастающая функция на множестве r ≥ 0. Как видим, поведение абсолютного изменения цены облигации объясняется выпуклостью зависимости цена доходность. 

Докажем утверждение теоремы об относительном изменении цены облигации. Дифференцируем:

  < 0,

поскольку r < (r + Δr) и D(r) > D(r + ∆r), где D(r) и D(r + ∆r) – дюрация облигации при уровнях доходности r  и (r + ∆r). Теорема доказана.

Из доказательства второй части теоремы следует, что данное свойство изменчивости цены облигации объясняется зависимостью дюрации облигации от её доходности. Если учесть, что по величине  оценивают процентный риск облигации, а дюрация облигации рассматривается как мера её процентного риска, то это объяснение согласуется с выводом о поведении процентного риска облигации, который можно сделать на основе свойств дюрации. А именно: чем выше доходность облигации, тем меньше её дюрация, а, следовательно, тем меньше её процентный риск, т.е. величина .

Итак, мы видим, что представление рыночных теорем как математических способствует углублению знаний об инвестиционных свойствах облигации. Результаты таких исследований могут быть использованы при принятии инвестиционных решений.  

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1.            Шарп У. Ф., Александер Г. Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции. –  М.: Инфра-М, 1999.

2.            Фрэнк Дж. Фабоцци.  Управление инвестициями. –  М.: Инфра-М, 2000

3.            Барбаумов В. Е., Гладких И. М., Чуйко А. С. Финансовые инвестиции. Ч.1. Инвестиции с фиксированными доходами. Учебное пособие.  М.: Изд-во Рос. экон. акад., 2000.

4.            Мельников А.В., Попова Н.В., Скорнякова В.С. Математические методы финансового анализа. М.: АНКИЛ, 2006.