Математика/5. Математическое моделирование

Д. ф.-м. н. Бурова И. Г.

Санкт-Петербургский государственный университет, Россия

О построении неполиномиальных интегро-дифференциальных сплайнов

В работе [1] построены полиномиальные интегро-дифференциальные сплайны. Здесь рассмотрено построение неполиномиальных интегро-дифференциальных сплайнов.
Пусть ‒ целые неотрицательные числа, ,

, сетка упорядоченных узлов на промежутке [a, b], конечная или бесконечная, В дальнейшем рассматри-ваем сетку равноотстоящих узлов с шагом h. Пусть , ‒ чебышевская система на [a, b], причем функции ,, строго монотонны и отличны от нуля на [a, b]. Для функции на промежутке имеем

251658240

где , могут принимать значения нуль или единица. Далее полагаем Другие варианты изучаются аналогично. Базисные функции относительно которых предполагаем, что

251658240251658240

будем определять из системы уравнений, которую в дальнейшем называем аппроксимационными тождествами:

251658240

Введем обозначения:

251658240,

251658240

Теперь определитель системы уравнений примет вид

251658240

Предположим, что при выбранных значениях параметров определитель отличен от нуля. Тогда базисные функции можно найти по формулам Краме-ра. Нетрудно видеть, что построенные таким образом базисные сплайны и прибли-жение обладают следующими свойствами:

1) если на концах каждого промежутка :

251658240

251658240

где некоторые постоянные.

Получим удобное представление для оценки погрешности приближения. Для этого построим однородное линейное уравнение, имеющее фундаментальную систему решений , …, Имеем при

251658240

Отсюда получаем

Предполагаем, что определитель Вронского

251658240

отличен от нуля. Построим общее решение неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных. Получаем

251658240

Здесь , ‒ произвольные постоянные, ‒ алгебраические допол-нения элементов -й строки определителя Далее получаем при

251658240

251658240

где находится между и , между и . С учетом , , и некоторые постоянные, имеем

251658240

Пример. Построим непрерывные интегро-дифференциальные тригонометри-ческие сплайны третьего порядка аппроксимации. Пусть известны , ,

На каждом имеем

251658240

После несложных вычислений, получаем

251658240

Оценка погрешности приближений такова:

251658240

Литература:

1. Бурова И.Г. О моделировании неполиномиальных интегро-дифферен-циальных приближений. Труды СПИИРАН. вып. 4(19). 2011. С. 176-202.

2. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. М. 2008. 480 c.